与えられた式 \(\phi\) が公理の集合 \(S\) について \(\vdash_S\mathit\Delta_1\) だったとする. すなわち \(\mathit\Sigma_1\) 式 \(\phi_\Sigma\) と \(\mathit\Pi_1\) 式 \(\phi_\Pi\) があって, \[ \forall x_1\cdots\forall x_m\Big[\; \phi(x_1,\ldots,x_m)\;\leftrightarrow\; \phi_\Sigma(x_1,\ldots,x_m)\;\leftrightarrow\; \phi_\Pi(x_1,\ldots,x_m) \;\Big] \] が \(S\) から証明可能であったとしよう. だから, クラス \(\mathbf{M}\) と \(\mathbf{N}\) が公理の集合 \(S\) のモデルであったとすれば \[ \big(\phi\;\leftrightarrow\;\phi_\Sigma \;\leftrightarrow\;\phi_\Pi\big)^{\mathbf{M}},~~ \big(\phi\;\leftrightarrow\;\phi_\Sigma \;\leftrightarrow\;\phi_\Pi\big)^{\mathbf{N}}, \]となるわけだが, ここでさらに \(\mathbf{M}\) と \(\mathbf{N}\) が推移的クラスで \(\mathbf{M}\subset\mathbf{N}\) だったとすると, 演習問題[14]の結果から \[ (\phi_\Sigma)^{\mathbf{M}}\;\rightarrow\;(\phi_\Sigma)^{\mathbf{N}},~~ (\phi_\Pi)^{\mathbf{N}}\;\rightarrow\;(\phi_\Pi)^{\mathbf{M}} \]でもある. これらを合わせて \[ \begin{gather} (\phi)^{\mathbf{M}}\;\rightarrow\;(\phi_\Sigma)^{\mathbf{M}}\;\rightarrow\; (\phi_\Sigma)^{\mathbf{N}}\;\rightarrow\;(\phi)^{\mathbf{N}}, \\ (\phi)^{\mathbf{N}}\;\rightarrow\;(\phi_\Pi)^{\mathbf{N}}\;\rightarrow\; (\phi_\Pi)^{\mathbf{M}}\;\rightarrow\;(\phi)^{\mathbf{M}} \end{gather} \]となる. したがって \((\phi)^{\mathbf{M}}\,\leftrightarrow\,(\phi)^{\mathbf{N}}\) である.