(a)→(b) 記号の簡略化のため, 式 \(\phi\) がただ一つの自由変数 \(x\) を含む場合だけを考えるが, 一般の場合もまったく同様である. 仮定により, ふたつの \(\mathit\Delta_0\)-式 \(\theta_\exists\) と \(\theta_\forall\) があり, \(\mathrm{ZF}\) の公理のある有限集合 \(S\) について \[ S\;\vdash\; \forall x\Big[\; \phi(x) \,\leftrightarrow\, \exists y_1\cdots\exists y_m\,\theta_\exists(x,y_1,\ldots,y_m) \,\leftrightarrow\, \forall z_1\cdots\forall z_n\,\theta_\forall(x,z_1,\ldots,z_n) \;\Big] \tag{1} \]となっている. ここで \(M\) を推移的集合で \((\bigwedge S)^M\) が成立しているようなものとする. \(x\in M\) のとき \[ \begin{align} \phi(x) \;\underset{(*)}\rightarrow\;& \forall z_1,\ldots,z_n\,\theta_\forall(x,z_1,\ldots,z_n)\\ \;\rightarrow\;& \forall z_1,\ldots,z_n\in M\;\theta_\forall(x,z_1,\ldots,z_n)\\ \;\underset{(\circ)}\rightarrow\;& \forall z_1,\ldots,z_n\in M\,\big(\theta_\forall(x,z_1,\ldots,z_n)\big)^M\\ \;\rightarrow\;& \big(\forall z_1,\ldots,z_n\,\theta_\forall(x,z_1,\ldots,z_n)\big)^M\\ \;\underset{(*)}\rightarrow\;& \big(\phi(x)\big)^M \end{align} \]である. ここで \((*)\) を付した含意は式(1)で証明されている同値性が \(\mathbf{V}\) と \(M\) で成立していることにより, \((\circ)\) は推移的集合 \(M\) に対する \(\mathit\Delta_0\)-式の絶対性による. 同様に, \[ \begin{align} \big(\phi(x)\big)^M \;\underset{(*)}\rightarrow\;&\big(\exists y_1,\ldots,y_m\,\theta_\exists(x,y_1,\ldots,y_m)\big)^M\\ \;\rightarrow\;&\exists y_1,\ldots,y_m\in M\,(\theta_\exists(x,y_1,\ldots,y_m)\big)^M\\ \;\rightarrow\;&\exists y_1,\ldots,y_m \,(\theta_\exists(x,y_1,\ldots,y_m)\big)^M\\ \;\underset{(\circ)}\rightarrow\;&\exists y_1,\ldots,y_m \,\theta_\exists(x,y_1,\ldots,y_m)\\ \;\underset{(*)}\rightarrow\;&\phi(x) \end{align} \]がいえる. したがって, すべての \(x\in M\) について \(\phi(x)\,\leftrightarrow\,(\phi(x))^M\), すなわち \(\phi\) は \(M\) に対して絶対的である.
(b)→(a) 式 \(\phi\) にあらわれない変数 \(u\) を用いて \(\phi(x)\) にあらわれる量化 \(\exists y\) と \(\forall z\) を一斉に \(\exists y\in u\) と \(\forall z\in u\) に書きかえた式, すなわち \(\phi\) の \(u\) への相対化 \(\phi^u(x)\) は, ふたつの自由変数 \(x\) と \(u\) についての \(\mathit\Delta_0\)-式である. 同様に, 固定された \(S\) については, その連言の \(u\) への相対化 \((\bigwedge S)^u\) は \(u\) を自由変数とする \(\mathit\Delta_0\)-式になっている. 集合 \(u\) が推移的であるという述語 \(\mathrm{Trans}(u)\) は \(\forall x\in u\forall y\in x(y\in u)\) という \(\mathit\Delta_0\)-式で書ける. さて, 条件(b)における式を証明するのに十分なだけの \(\mathrm{ZF}\) の有限個の公理を \(S\) に追加して得られた文の有限集合を \(S'\) としよう. 条件(b)によれば, 任意の \(x\) について \[ \begin{align} \phi(x)\;\leftrightarrow\;&\forall M\big[\, \big(\,x\in M\land \mathrm{Trans}(M)\land (\bigwedge S)^M\,\big)\,\rightarrow\, \phi^M(x)\,\big]\\ \;\leftrightarrow\;&\exists M\big[\, x\in M\land \mathrm{Trans}(M)\land (\bigwedge S)^M\land \phi^M(x)\,\big] \end{align} \]であり, しかもこのことは \(\mathrm{ZF}\) の有限部分 \(S'\) によって証明される. ふたつの \([~~]\) の内側はいずれも \(x\) と \(M\) にかんする \(\mathit\Delta_0\)-式である. したがって \(\phi\) は \(\vdash_{\mathrm{ZF}}\mathit\Delta_1\) である.