第IV章 演習問題 [18]

外延性公理 (公理1) 外延性公理の \(\mathbf{V},\mathbf{E}\) への相対化は \[ \forall x\forall y\,\Big(\; \forall z\big(\,z\mathbf{E}x\,\leftrightarrow\,z\mathbf{E}y\,\big)\; \rightarrow\;x=y \;\Big) \] となるだろう. ここで \(\mathbf{E}\) の定義によってこれは \[ \forall x\forall y\,\Big(\; \forall z\big(\,z\in\mathbf{F}(x)\,\leftrightarrow\,z\in\mathbf{F}(y)\,\big)\; \rightarrow\;x=y \;\Big) \]すなわち 《\(\mathbf{F}\) は \(\mathbf{V}\) 上の1対1の関数である》 を意味する. そこで仮定により外延性公理は \(\mathbf{V},\mathbf{E}\) において真である.

内包性図式 (公理3) 与えられた式 \(\varphi(x)\) と集合 \(a\) に対して, \[ b = \mathbf{F}^{-1}\big(\big\{\,x\in \mathbf{F}(a)\,:\,\varphi(x)^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\,\big\}\big) \] とすれば, \(\forall x\,(x\mathbf{E}b\leftrightarrow x\mathbf{E}a\land\varphi(x)^{\mathbf{V},\mathbf{E}})\) となる.

対の公理 (公理4) と和集合の公理 (公理5) 集合 \(a\) と \(b\) に対して \[ \begin{gather} \{a,b\}^{\mathbf{V},\mathbf{E}}=\mathbf{F}^{-1}(\{a,b\})\\ \left(\bigcup a\right)^{\mathbf{V},\mathbf{E}} = \mathbf{F}^{-1}\left(\, \bigcup\big\{\,\mathbf{F}(y)\,:\,y\in \mathbf{F}(a)\,\big\} \,\right) \end{gather} \] となることからわかる.

置換図式 (公理6) 式 \(\varphi(x,y)\) について \[ \Big(\,\forall x\in a\exists! y\,\varphi(x,y)\,\Big)^{\mathbf{V},\mathbf{E}} \]となっていたと仮定する. これはつまり \[ \forall x\in\mathbf{F}(a)\exists! y\,\varphi(x,y)^{\mathbf{V},\mathbf{E}} \]であるから, 式 \(\varphi(x,y)^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) にかんする置換公理により, 集合 \[ c = \big\{\,y\,:\,\exists x\in\mathbf{F}(a)\,\varphi(x,y)^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\,\big\} \]を作ることができる. \(b=\mathbf{F}^{-1}(c)\) とおこう. すると \[ y\mathbf{E}b\;\leftrightarrow\;\exists x\big(\,x\mathbf{E}a\land \varphi(x,y)^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\,\big) \]であるから \[ \Big(\; \exists b\forall y\big(\,\exists x\in a\,\varphi(x,y)\,\rightarrow\,y\in b\,\big) \;\Big)^{\mathbf{V},\mathbf{E}} \]となって \((\varphi\) についての置換公理\()^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\)が成立する.

無限公理 (公理7) 空集合と後続者写像の \(\mathbf{V},\mathbf{E}\) への相対化はそれぞれ \(0^{\mathbf{V},\mathbf{E}}=\mathbf{F}^{-1}(0)\) と \(S^{\mathbf{V},\mathbf{E}}(x)=\mathbf{F}^{-1}(\{x\}\cup \mathbf{F}(x))\) である. \(0^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) に \(S^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) を反復適用して, 再帰的に \(n^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) \((n\in\omega)\) が得られたとして, その全体 \[ c = \big\{\,n^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\,:\,n\in\omega\,\big\} \]を考えよう. 置換公理などによりこれは集合として確定する. \(b=\mathbf{F}^{-1}(c)\) とおくと, \(0^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\mathbf{E}b\) かつ \(x\mathbf{E}b\rightarrow S^{\mathbf{V},\mathbf{E}}(x)\mathbf{E}b\) となる. したがって \[ \exists b\,\big(\,0\in b\land\forall x\in b(\,S(x)\in b\,)\,\big)^{\mathbf{V},\mathbf{E}} \]である.

冪集合の公理 (公理8) 包含関係の \(\mathbf{V},\mathbf{E}\) への相対化は \[ (x\subset a)^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\,\leftrightarrow\, \forall y\big(\,y\in\mathbf{F}(x)\rightarrow y\in\mathbf{F}(a)\,\big) \,\leftrightarrow\,\mathbf{F}(x)\subset \mathbf{F}(a) \,\leftrightarrow\,x\in\mathbf{F}^{-1}{“}\mathcal{P}(\mathbf{F}(a)) \]である. \(\mathbf{F}\) が全単射であることから \(\mathbf{F}^{-1}{“}\mathcal{P}(\mathbf{F}(a))\) は集合であって, \[ \mathcal{P}^{\mathbf{V},\mathbf{E}}(a)=\mathbf{F}^{-1}\big(\;\mathbf{F}^{-1}{“}\mathcal{P}(\mathbf{F}(a))\;\big) \] となっている.

選択公理 (公理9) ここまでで \(\mathbf{V},\mathbf{E}\) において \(\mathbf{ZF}^{-}\) の公理がすべて真であるとわかった. そこで, 選択公理を検証するにあたっては, 式 \[ 0\notin a\;\rightarrow\; \exists f\big(\,f:a\to\bigcup a\land \forall x\in a(f(x)\in x)\,\big) \] を検証すればよい. \((0\notin a)^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) と仮定しよう. これはつまり \(0^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\notin \mathbf{F}(a)\) すなわち, \(\forall x\in \mathbf{F}(a)(\,\mathbf{F}(x)\neq 0\,)\) ということだ. そこで集合(族) \(b=\{\,\mathbf{F}(x)\,:\,x\in \mathbf{F}(a)\,\}\) について \(0\notin b\) である. ここで選択公理を用い, 関数 \(g:b\to\bigcup b\) を \(\forall y\in b(\,g(y)\in y\,)\) となるようにとろう. このとき \[ \forall x\in \mathbf{F}(a)\big(\,g(\mathbf{F}(x))\in\mathbf{F}(x)\,\big) \]であるから \[ f = \mathbf{F}^{-1}\Big(\; \big\{\,\langle x,g(\mathbf{F}(x))\rangle^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\,:\, x\in \mathbf{F}(a)\,\big\} \;\Big) \]とおくことにより \((f\) は \(a\) を定義域とした関数\()^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) で \((\)すべての \(x\in a\) について \(f(x)\in x)^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) となることがわかる.

細かいチェックはここでは省いていますが, そう難しくありません.

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年6月12日)
2012年8月14日更新:式の誤記を修正

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