\(S\cup\{\chi\}\) の \(\omega\)-矛盾の例となる式 \(\phi(x)\) と, \(S\cup\{\neg\chi\}\) の \(\omega\)-矛盾の例となる式 \(\psi(x)\) を考える. ここで, \(\phi\) と \(\psi\) の自由変数を必要に応じて書き替えることにより, \(\phi(x)\) や \(\psi(x)\) は共通の自由変数 \(x\) に関してそれぞれ \(\omega\)-矛盾したことを言っており, かつ, \(\chi\) にはこの変数 \(x\) はいっさい出現しないと仮定して差し支えない. 式 \(\theta(x)\) を \[ \big(\chi\,\rightarrow\,\phi(x)\big)\land \big(\neg\chi\,\rightarrow\,\psi(x)\big) \]のことだとする. この \(\theta\) が \(S\) の \(\omega\)-矛盾の実例となることを確認しよう.
“本物の”自然数 \(n=0,1,2,\ldots\) について個別には, \[ \begin{gather} S\cup\{\chi\}\;\vdash\;\phi(\ulcorner n\urcorner),\\ S\cup\{\neg\chi\}\;\vdash\;\psi(\ulcorner n\urcorner) \end{gather} \]である. そこで「命題論理の演繹定理」により, \[ \begin{gather} S\;\vdash\;\chi\,\rightarrow\,\phi(\ulcorner n\urcorner),\\ S\;\vdash\;\neg\chi\,\rightarrow\,\psi(\ulcorner n\urcorner) \end{gather} \]したがって \[ S\;\vdash\;\big(\chi\,\rightarrow\,\phi(\ulcorner n\urcorner)\big)\land \big(\neg\chi\,\rightarrow\,\psi(\ulcorner n\urcorner)\big) \]すなわち, \(S\,\vdash\,\theta(\ulcorner n\urcorner)\) となっている.
いっぽう, \[ \begin{gather} S\cup\{\chi\}\;\vdash\;\exists x\in\omega\big(\neg\phi(x)\big),\\ S\cup\{\neg\chi\}\;\vdash\;\exists x\in\omega\big(\neg\psi(x)\big) \end{gather} \]から, 先ほどと同様に \[ S\;\vdash\;\Big(\chi\,\rightarrow\,\exists x\in\omega\big(\neg\phi(x)\big)\Big)\land \Big(\neg\chi\,\rightarrow\,\exists x\in\omega\big(\neg\psi(x)\big)\Big) \]となる. いま, 排中律 \(\chi\lor\neg\chi\) は論理のみから証明できるので, 上の式から \[ S\;\vdash\;\Big(\chi\land\exists x\in\omega\big(\neg\phi(x)\big)\Big)\lor \Big(\neg\chi\land\exists x\in\omega\big(\neg\psi(x)\big)\Big) \]が導かれるが, \(\chi\) に \(x\) がいっさい出現していないという仮定により, これは \[ S\;\vdash\;\exists x\in\omega\Big(\big(\chi\land\neg\phi(x)\big)\lor \big(\neg\chi\land\neg\psi(x)\big)\Big) \]すなわち \(S\,\vdash\,\exists x\in\omega\,\neg\theta(x)\) を導く.