第一段 最初に \(\kappa=\lambda^+\) の場合をやる. \(|H(\lambda^+)|=2^\lambda\) を示せばよい. そのためにまず \(H(\lambda^+)\) の要素の階層を次のように定義してやる. 再帰的に \(F(\xi)\) を \[ \begin{gather} F(0)=0,\\ F(\xi+1)=\big\{\,x\,:\,x\subset F(\xi)\land |x|\leq\lambda\,\big\},\\ F(\delta)=\bigcup_{\xi<\delta} F(\xi),\quad(\delta\text{: limit}) \end{gather} \] と定めると, \(F(\xi)=H(\lambda^+)\cap R(\xi)\) となることが超限帰納法でわかり, \(H(\lambda^+)=\bigcup_{\xi<\lambda^+}F(\xi)\) となる. いま \(\lambda\subset F(\lambda)\) だから \(\lambda\in F(\lambda+1)\), したがって \(\mathcal{P}(\lambda)\subset F(\lambda+1)\) となり, \[ |H(\lambda^+)|\geq |F(\lambda+1)|\geq |\mathcal{P}(\lambda)|=2^\lambda \]となる. いっぽう, \(\lambda^+\) 未満の順序数について \(|F(\xi)|\leq2^\lambda\) となる. [証明: \(|F(\xi)|\leq2^\lambda\) であれば \(F(\xi+1)\) は \(2^\lambda\) 個以下の要素のうちから \(\lambda\) 個以下を選んで作られた集合の全体であるから, \({}^\lambda(2^\lambda)\) から \(F(\xi+1)\) へ全射が存在し, \(|F(\xi+1)|\leq|{}^\lambda(2^\lambda)|=2^\lambda\) となる. 濃度 \(2^\lambda\) 以下の集合がたかだか \(\lambda\) 個あれば, その和集合の濃度も \(2^\lambda\) 以下である. 超限帰納法によりすべての \(\xi<\lambda^+\) で \(|F(\xi)|\leq2^\lambda\) となる. 証明終] したがって, \(|H(\lambda^+)|\leq\lambda^+\cdot 2^\lambda=2^\lambda\) となる. これで \(|H(\lambda^+)|=2^\lambda\) が示された.
第二段 \(\kappa\) が極限基数であるなら, \[ H(\kappa)=\bigcup_{\lambda<\kappa} H(\lambda^+) \] となるから第一段の結果から \(|H(\kappa)|=\sup\{\,2^\lambda\,:\,\lambda<\kappa\,\}=2^{<\kappa}\) である.