ベート関数の定義から \(\beth_\alpha = |R(\omega+\alpha)|\) である. そこで一般に \(|R(\xi)|\leq\beth_\xi\) となる. いま \(\kappa=\beth_\kappa\) だとすると, すべての \(\xi<\kappa\) について \(|R(\xi)|\leq\beth_\xi<\beth_\kappa=\kappa\) だが, \(R(\xi)\) は推移的集合だから \(R(\xi)\in H(\kappa)\). このことから \(R(\kappa)\subset H(\kappa)\) となる. また, 補題6.2により一般に \(R(\kappa)\supset H(\kappa)\) なので等号が成立する.
逆に, \(R(\kappa)=H(\kappa)\) を仮定しよう. すべての \(\xi<\kappa\) について \(R(\omega+\xi)\in R(\kappa)=H(\kappa)\) より \(\beth_\xi=|R(\omega+\xi)|<\kappa\) となる. したがって \(\xi<\kappa\) のとき \(\xi\leq \beth_\xi<\kappa\) で, 上限をとって \(\kappa=\beth_\kappa\) となる.