外延性公理: \(H(\kappa)\) が推移的集合だから \(H(\kappa)\) において外延性公理は成立する. (補題2.4)
基礎の公理: 任意のクラスにおいて成立する. (補題2.12)
内包性図式: \(y\subset x\in H(\kappa)\) のとき, \(\mathrm{tr\,cl}(y)\subset \mathrm{tr\,cl}(x)\) なので \(y\in H(\kappa)\) でもある. このことから, 内包性公理は \(H(\kappa)\) において成立する. (系2.6)
対の公理: \(\mathrm{tr\,cl}(\{x,y\})=\{x,y\}\cup\mathrm{tr\,cl}(x)\cup \mathrm{tr\,cl}(y)\) であるから, \(x,y\in H(\kappa)\) のとき \(\{x,y\}\in H(\kappa)\) である. このことと補題2.10により対の公理は \(H(\kappa)\) において成立する.
和集合の公理: \(\mathrm{tr\,cl}(\bigcup x)\subset\mathrm{tr\,cl}(x)\) であるから, \(x\in H(\kappa)\) のとき \(\bigcup x\in H(\kappa)\) でもある. このことと補題2.10により和集合の公理は \(H(\kappa)\) において成立する.
無限公理: \(\kappa>\omega\) であるから \(\omega\in H(\kappa)\) である. \(H(\kappa)\) に対しても \(0\) と \(S\) 演算は絶対的である. そこで \(H(\kappa)\) においても \(\omega\) が無限公理によって要請される集合になっている. (補題3.12)
冪集合の公理について: まず \(H(\kappa)\) において冪集合の公理が成立したと仮定する. 補題2.9によれば, これは \(x\in H(\kappa)\) のとき, ある \(y\) について \(\mathcal{P}(x)\cap H(\kappa)\subset y\in H(\kappa)\) となる, ということであった. ところが, 内包性図式について上に述べたことから, \(x\in H(\kappa)\) のとき \(\mathcal{P}(x)\subset H(\kappa)\) であることがわかる. そこで, \[ \mathcal{P}(x)=\mathcal{P}(x)\cap H(\kappa)\subset y\in H(\kappa) \] したがって \(\mathcal{P}(x)\in H(\kappa)\) となる. このことから, \[ \forall \lambda<\kappa\big(\;2^\lambda<\kappa\;\big) \]がわかる (すなわち, \(\kappa\) は強極限基数である). このとき \(\beth_\alpha<\kappa\,\rightarrow\,\beth_{\alpha+1}<\kappa\) なので, \(\beth_\alpha<\kappa\) となる \(\alpha\) 全体の集合の上限を \(\gamma\) とすれば, \(\gamma\) は極限順序数で, \(\kappa=\beth_\gamma\)となる.
逆に \(\kappa=\beth_\gamma\) となる極限順序数 \(\gamma\) があったとしよう. このとき, \(\kappa\) は強極限基数である. 任意の要素 \(x\in H(\kappa)\) について, 無限基数 \(\delta<\kappa\) を \(x\in H(\delta)\) となるように選ぶ. このとき, \(|\mathcal{P}(x)|=2^{|x|}\leq 2^{\delta}<\kappa\) であり, 一般に \(\mathrm{tr\,cl}(\mathcal{P}(x))=\mathcal{P}(x)\cup\mathrm{tr\,cl}(x)\) であることと合わせて \(|\mathrm{tr\,cl}(\mathcal{P}(x))|<\kappa\) であり, \(\mathcal{P}(x)\in H(\kappa)\) となる. 補題2.9によって, このとき \(H(\kappa)\) において冪集合の公理が成立する.
置換公理について: すでに定理6.5で \(\kappa\) が正則基数であるときには \(H(\kappa)\) において置換公理が成立することが指摘された. この正則性の条件は必要である. このことを示すため, \(H(\beth_\omega)\) において置換公理が成立しないことを示そう.
冪集合公理についての議論で先に見たとおり, \(H(\beth_\omega)\) は冪集合演算のもとで閉じており, \[ \omega, \mathcal{P}(\omega),\mathcal{P}(\mathcal{P}(\omega)),\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\omega))),\ldots \]といった集合はすべて \(H(\beth_\omega)\) に属する. ところがこれらをすべて集めた可算集合 \[ A = \big\{\,\omega, \mathcal{P}(\omega),\mathcal{P}(\mathcal{P}(\omega)),\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\omega))),\ldots\,\big\} \]は, 和集合の濃度が \(\beth_\omega\) であるため \(H(\beth_\omega)\) に属さない. いま, 式 \(\phi(n,f)\) を \(n\) は自然数, \(f\) は \(n+1\) を定義域とする関数で, \[ f(0)=\omega\land \forall i<n\big(\,f(i+1)=\mathcal{P}(f(i))\,\big) \] となっている, と主張する式としよう. さらに式 \(\psi(n,x)\) を \[ \exists f\,\big(\,\phi(n,f)\land x=f(n)\,\big) \]という式とする. このとき \[ \forall n\in \omega\,\big(\,\exists!f\,\phi(n,f)\land \exists!x\,\psi(n,x)\,\big) \] であり, しかも各 \(n\) に対応する \(f\) と \(x\) はいずれも \(H(\beth_\omega)\) に属する. さらに, 関連する概念がすべて \(H(\beth_\omega)\) に対して絶対的であることから \[ \big(\forall n\in \omega\,\exists!x\,\psi(n,x)\big)^{H(\beth_\omega)} \] が成立する. ところが, 置換図式で存在が保証される像集合 \[ \big\{\,x\,:\, (\exists n\in\omega\,\psi(n,x))^{H(\beth_\omega)}\,\big\} \] は, 先ほど例に挙げた集合 \(A\) にほかならない. この集合を部分集合として含む集合は, 和集合の濃度が \(\beth_\omega\) 以上となるので, 決して \(H(\beth_\omega)\) に属さない. したがって, \(\psi(n,x)\) についての置換公理 \[ \forall n\in \omega\,\exists!x\,\psi(n,x)\;\rightarrow\;\exists y\forall n\in \omega\,\exists x\in y\,\psi(n,x) \] は \(H(\beth_\omega)\) において成立していない.