第一段《辞書式順序 \(\langle 2\times\omega,{<_{\mathrm{lex}}}\rangle\) が整列順序である》 ことは \(R(\omega+\omega)\) においても真である. というのも, \(2\times\omega\) の部分集合はすべて \(R(\omega+\omega)\) に属しているし, \(<_{\mathrm{lex}}\) は \(R(\omega+\omega)\) に対して絶対的であるから. ところが, この整列順序の順序型である順序数 \(\omega+\omega\) は \(R(\omega+\omega)\) の要素としては存在せず, したがって 《整列順序 \(\langle 2\times\omega,{<_{\mathrm{lex}}}\rangle\) と同型な順序数が存在しない》 が \(R(\omega+\omega)\) において真となる.
第二段《\(n\) は自然数, \(f\) は \(n+1\) を定義域とする関数であり, \(f(0)=\omega\) かつ \(\forall i<n(\,f(i+1)=S(f(i))\,)\) である》 と主張する式 \(\phi(n,f)\) を考えよう. また, \(\exists f\,\phi(n,f)\land x=f(n)\) という式を \(\psi(n,x)\) としよう. \(\phi\) は絶対的で, しかも \(\forall n\in\omega\exists!f\,\phi(n,f)\) である. この一意的な \(f\) とは要するに集合 \[ \big\{\;\langle i,\omega+i\rangle\,:\,i\leq n\;\big\} \] のことだから, \(R(\omega+\omega)\) に属する. したがって, \[ \Big(\forall n\in\omega\exists!f\,\phi(n,f)\Big)^{R(\omega+\omega)} \]であり, また \[ \Big(\forall n\in\omega\exists!x\,\psi(n,x)\Big)^{R(\omega+\omega)} \]である. ここで, \(\psi(n,x)\) となる \(x\) とは \(\omega+n\) のことであり, その全体 \[ A = \big\{\;\omega+n\,:\,n\in\omega\;\big\} \] は階数 \(\omega+\omega\) をもつ. そこで, \(R(\omega+\omega)\) にはこの \(A\) を部分集合として含む要素は一切存在せず, \[ \Big(\neg\exists y\forall n\in \omega\exists!x\in y\,\psi(n,x)\Big)^{R(\omega+\omega)} \]となっている. そこで, \(\psi\) についての置換公理 \[ \forall n\in\omega\exists!x\,\psi(n,x)\;\rightarrow\;\exists y\forall n\in\omega\exists x\in y\,\psi(n,x) \]は \(R(\omega+\omega)\) において真でない.