\(n>0\) のときの \(\mathrm{En}^*(5^5,\omega,n)\) だけ, \[ \mathrm{En}^*(5^5,\omega,n)= \big\{\,s\in\omega^s\,:\,s\notin\mathrm{En}(s(0),\omega,n)\,\big\}\tag{1} \]とし, その他の場合はすべて \(\mathrm{En}^*(m,A,n)=\mathrm{En}(m,A,n)\) とする. もしも, ある \(m\) で \[ \mathrm{En}^*(5^5,\omega,n)=\mathrm{En}(m,\omega,n) \tag{2} \] だったとすると, \(s(0)=m\) をみたす \(s\in\omega^n\) について(1)からは \[ s\in\mathrm{En}^*(5^5,\omega,n)\,\leftrightarrow\,s\notin\mathrm{En}(s(0),\omega,n) \,\leftrightarrow\,s\notin\mathrm{En}(m,\omega,n) \]が導かれ, いっぽう(2)からは \[ s\in\mathrm{En}^*(5^5,\omega,n)\,\leftrightarrow\,s\in\mathrm{En}(m,\omega,n) \]が導かれて矛盾する. この矛盾から(2)を満たす番号 \(m\) が存在しないことがわかり, したがって \(\mathrm{En}^*(5^5,\omega,n)\notin\mathrm{Df}(\omega,n)\) となっている.
いっぽう, 式 \(m=5^5\) や \(A=\omega\) や \(n>0\) の絶対性と, ほかならぬ \(\mathrm{En}\) 関数そのものの絶対性により, \(\mathrm{En}^*\) 関数は \(\mathrm{ZF}-\mathrm{P}\) の任意の推移的モデルに対して絶対的である. すなわち補題1.7に対応する条件が満たされる. また \[ \mathrm{Df}^*(A,n)=\big\{\,\mathrm{En}^*(m,A,n)\,:\,m\in\omega\,\big\} \] とおくと補題1.5と補題1.6に対応する条件が満たされることもわかる. また, \(\mathrm{En}\) 関数が意味のある値を返すような \(m\) については \(\mathrm{En}^*\) も \(\mathrm{En}\) と同じ値を返すので, \(\mathrm{Df}(A,n)\subset\mathrm{Df}^*(A,n)\subset\mathcal{P}(A^n)\) となっており, このことから補題1.3に対応する事実が成立することもわかる. 以上のことから, ここで定義した \(\mathrm{Df}^*\) と \(\mathrm{En}^*\) が欲しい条件のすべてを満たすことがわかる.
この論法は典型的な対角線論法で, 真偽の形式的定義不可能性にかんするタルスキの定理や, この章の冒頭で論じられたパラドックスの仕掛けを流用する形になっています. ここで定義した \(\mathrm{En}^*(5^5,\omega,n)\) は \((\omega,{\in})\) 上で定義可能な関係にはなりませんが, より大きな構造, たとえば \((R(\omega+1),{\in})\) において定義可能な集合になっており, すべての \(n\) について \[ \mathrm{En}^*(5^5,\omega,n)\in\mathrm{Df}(R(\omega+1),1) \] となっています.