(a)→(b) 定義から, \(\mathbf{HOD}\) は \(\mathbf{OD}\) に含まれる最大の推移的クラスである. もしも \(\mathbf{V}=\mathbf{OD}\) なら \(\mathbf{V}\) 自身がそのようなクラスであるから \(\mathbf{V}=\mathbf{HOD}\) となる.
(b)→(c) 定義から, \(\mathbf{HOD}\subset\mathbf{OD}\subset\mathbf{V}\) であるから, もしも \(\mathbf{V}=\mathbf{HOD}\) なら \(\mathbf{V}=\mathbf{OD}\) でもあり, \(\mathbf{OD}\) は推移的クラスである.
(c)→(d) 外延性公理は任意の推移的クラスで真である.
(d)→(a) いま条件(a)を否定し \(\mathbf{V}\neq\mathbf{OD}\) であったとしよう. なにか \(a\notin\mathbf{OD}\) なる \(a\) が存在するから \(\alpha=\mathrm{rank}(a)+1\) とすれば \(R(\alpha)\cap\mathbf{OD}\neq R(\alpha)\) となる. ところが, \(R(\alpha)\in\mathbf{OD}\) かつ \(R(\alpha)\cap\mathbf{OD}\) であり, \[ R(\alpha)\neq R(\alpha)\cap \mathbf{OD}~\land~ \forall x\in \mathbf{OD}\Big[\, x\in R(\alpha)\,\leftrightarrow\,x\in R(\alpha)\cap\mathbf{OD} \,\Big] \] となる. これは \(\mathbf{OD}\) における外延性公理の反例を与えるので, 条件(d)が否定される.