存在公理 (公理0) \(0\subset\mathbf{M}\) より \(\exists y\in\mathbf{M}(0\subset y)\) となるので \(\mathbf{M}\neq0\).
外延性公理 (公理1) 任意の推移的クラス \(\mathbf{M}\) において成立する.
基礎の公理 (公理2) これは任意のクラスで成立する.
内包性公理 (公理3) 仮定により \(\mathbf{M}\) で成立する.
対の公理 (公理4) \(a,b\in\mathbf{M}\) のとき \(\{a,b\}\subset\mathbf{M}\) なので, ある \(y\in\mathbf{M}\) について \(\{a,b\}\subset y\) となる. この \(y\) が \(a,b\) について対の公理の要請をみたす.
和集合の公理 (公理5) \(\mathbf{M}\) が推移的であることにより, 集合 \(x\in\mathbf{M}\) のすべての要素 \(y\in x\) について, \(y\in\mathbf{M}\) かつ \(y\subset\mathbf{M}\) が成立する. したがって \(\bigcup x\subset\mathbf{M}\) であるから, ある \(z\in\mathbf{M}\) について \(\bigcup x\subset z\) となる. この \(z\) が \(x\) についての和集合の公理の要請をみたす.
置換公理 (公理6) 集合 \(a\in\mathbf{M}\) と式 \(\varphi(x,y)\) について, \(\big(\,\forall x\in a\exists !y\,\varphi(x,y)\,\big)^{\mathbf{M}}\) すなわち \[ \forall x\in a\exists !y\in \mathbf{M}\,\varphi^{\mathbf{M}}(x,y) \] が成立していると仮定しよう. このとき \(\mathbf{V}\) において置換公理を用いれば, 集合 \(c\) を \[ \forall x\in a\exists y\in c\, \big(\,y\in\mathbf{M}\land \varphi^{\mathbf{M}}(x,y)\,\big) \] となるようにとれる. \(c\cap \mathbf{M}\subset\mathbf{M}\) なので集合 \(b\in\mathbf{M}\) を \(c\cap \mathbf{M}\subset b\) となるようにとれて, \[ b\in\mathbf{M}\land \forall x\in a\exists y\in b\,\varphi^{\mathbf{M}}(x,y) \]が成立する. こうして \[ \Big(\;\forall x\in a\exists !y\,\varphi(x,y)\,\rightarrow\, \exists b\forall x\in a\exists y\in b\,\varphi(x,y)\;\Big)^{\mathbf{M}} \]すなわちクラス \(\mathbf{M}\) における式 \(\varphi\) についての置換公理が得られる.
無限公理 (公理7) これには \(\mathbf{ON}\subset\mathbf{M}\) を示せば十分だろう. そのために, \(\mathbf{M}\) に属さない順序数があったとしてその最小のもの \(\alpha\) をとる. すると, \(\alpha\subset\mathbf{M}\) であるから集合 \(y\in\mathbf{M}\) を \(\alpha\subset y\) となるようにとれるが, ここまでの議論で \(\mathbf{M}\) が \(\mathrm{ZF}-\mathrm{P}-\mathrm{Inf}\) の推移的モデルであることはわかっているので, \(\mathbf{M}\) において集合 \[ a=\big\{\,\xi\in y\,:\,\xi\in\mathbf{ON}\,\big\}^{\mathbf{M}} \]を形成できるが, クラス \(\mathbf{ON}\) の絶対性から, \(a=\alpha\) であり \(\alpha\in\mathbf{M}\) となる. これは矛盾である.
冪集合の公理 (公理8) 集合 \(x\in \mathbf{M}\) について \(\mathcal{P}(x)\cap \mathbf{M}\subset\mathbf{M}\) だから集合 \(y\) を \(\mathcal{P}(x)\cap\mathbf{M}\subset y\) となるようにとれる. この \(y\) が \(x\) についての冪集合の公理の要請をみたす.
後半の主張については, \(\mathbf{M}\) が \(\mathrm{ZF}\) のうち \(\langle\,R(\alpha)\,:\,\alpha\in\mathrm{ON}\,\rangle\) が定義でき \(\mathbf{V}=\mathbf{WF}\) が証明できるのに十分なだけの有限部分の推移的モデルだったとしよう. するとすべての順序数 \(\alpha\) について \(\alpha\in\mathbf{M}\) かつ \(R(\alpha)\cap\mathbf{M}\in\mathbf{M}\) となる. そこで, \(x\subset\mathbf{M}\) のとき, \(\alpha=\mathrm{rank}(x)\) とすれば \(x\subset R(\alpha)\cap \mathbf{M}\in\mathbf{M}\) となって, \(\forall x\subset\mathbf{M}\exists y\in\mathbf{M}(x\subset y)\) が成立する.