第V章 演習問題 [8]

集合 \(A\) が空でなくて推移的で, 対をつくる演算と和集合をつくる演算のもとで閉じていて, しかも \(\omega\in A\) と \(\forall x(\,\mathcal{P}(x)\cap A\in A\,)\) をみたす, と主張する式を \(\phi_{\mathrm{BA}}\) としよう: \[ \begin{align} \phi_{\mathrm{BA}}(A)\;\leftrightarrow\;& \forall x\in A(x\subset A) \land \omega\in A \land \forall x,y\in A(\{x,y\}\in A)\\ &\land \forall x\in A(\bigcup x\in A) \land \forall x\in A(\mathcal{P}(x)\cap A\in A). \end{align} \]このとき \(\phi_{\mathrm{BA}}(A)\) は集合 \(A\) が外延性公理と基礎の公理と無限公理と対の公理と和集合の公理と冪集合の公理の推移的モデルになっているための必要十分条件を与える. あとは内包性公理と置換公理だが, これらは \(\mathrm{Df}\) 関数をつかって, それぞれ \[ \begin{align} \phi_{\mathrm{Comp}}(A)\;\leftrightarrow\;& \forall n\in\omega \forall r\in\mathrm{Df}(A,{n{+}1}) \forall s\in A^n \forall a\in A\\ &\exists b\in A \forall x\in A\Big(\; x\in b\,\leftrightarrow\, x\in a\land s^\frown\langle x\rangle\in r \;\Big) \end{align} \] と \[ \begin{align} \phi_{\mathrm{Rep}}(A)\;\leftrightarrow\;& \forall n\in\omega \forall r\in \mathrm{Df}(A,{n{+}2}) \forall s\in A^n \forall a\in A \\ &\Big(\; \forall x\in a\exists !y\in A(\,s^\frown\langle x\rangle^\frown\langle y\rangle\in r\,)\,\rightarrow\,\exists b\in A\forall x\in a\exists y\in b(\,s^\frown\langle x\rangle^\frown\langle y\rangle\in r\,)\;\Big) \end{align} \] のように表現できる. そこで, \(\mathrm{Mod}_{\mathrm{ZF}}(A)\,\leftrightarrow\,\phi_{\mathrm{BA}}(A)\land\phi_{\mathrm{Comp}}(A)\land\phi_{\mathrm{Rep}}(A)\) と定めればよい.

\(\phi_{\mathbf{BA}}\) の \(\mathrm{BA}\) はBasic Axiomsの略のつもりです.

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年7月19日)

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