第VI章 演習問題 [10]

(i) 非有界性：各 \(\alpha < \omega_1\) について \(\alpha + 1\) の \(L_{\omega_1}\) に関するスコーレム閉包 \(M\) をとる. このとき, 定理3.9で存在が保証されているような論理式 \(\chi\) を \(L_{\omega_1}\) は満たすから, 初等性により \(M \models \chi\). よって \(M \simeq L_\delta\) であるような \(\delta < \omega_1\) が存在し, \(\alpha \in L_\delta\) より \(\alpha < \delta\).

(ii) 閉性：\(\langle \alpha_n : n < \omega \rangle\) を \(\omega_1\) の狭義単調増加列とし, 各 \(n\) は \(L_{\alpha_n} \prec L_{\omega_1}\) を満たすとする. 示すべきは \(\lim_{n \to \omega} \alpha_n = \alpha\) のとき \(L_\alpha \prec L_{\omega_1}\) が成り立つことである.

原子論理式については自明であり, \(\phi\) で初等性が成り立つとき, \[ \begin{aligned} L_\alpha \models \exists x\, \phi(x, x_0, \ldots, x_{n-1}) &\Leftrightarrow \exists x \in L_\alpha \, L_\alpha \models \phi(x, x_0, \ldots, x_{n-1}) \\ &\Leftrightarrow \exists n < \omega\, \exists x \in L_{\alpha_n} \, L_{\alpha_n} \models \phi(x, x_0, \ldots, x_{n-1}) \\ &\Leftrightarrow \exists n < \omega\, L_{\alpha_n} \models \exists x\, \phi(x, x_0, \ldots, x_{n-1}) \\ &\Leftrightarrow L_{\omega_1} \models \exists x\, \phi(x, x_0, \ldots, x_{n-1}). \end{aligned} \]