次の条件を満たす列 \(\langle A_\alpha : \alpha \lt \omega_1 \rangle\) を \( \diamondsuit\)-列と呼ぶのであった． \[\begin{gather} \alpha \lt \omega_1 \text{ に対して }A_\alpha \subset \alpha \label{diamond-property} \tag{1.1}\\ 任意の \ A \subset \omega_1 \text{ に対して }\{\alpha \lt \omega_1 : A \cap \alpha = A_\alpha \} \notag \text{ は }\ \omega_1 \text{ の定常集合 }\tag{1.2} \end{gather}\] \(V=L\) のとき \(\diamondsuit\)-列が存在することを証明する．
【補題】\(M \prec L({\omega_2})\) を可算初等的部分構造とする．\(\beta = \omega_1 \cap M\) とするとき次のことが成り立つ． \[\begin{gather} \omega \in M \tag{2.1}\\ \omega \subset M \tag{2.2}\\ \omega_1 \in M \tag{2.3}\\ \omega_1 \not\subset M \tag{2.4} \\ x \in M \text{ が } L({\omega_2}) \text{ で可算のとき }x \subset M \tag{2.5} \\ \beta \text{ は「本当」の極限順序数} \tag{2.6} \\ \beta \notin M \tag{2.7} \end{gather}\]
【証明】一般に \(M \prec N\) を初等的部分構造として \(a \in N\) が定義可能なとき \(a \in M\) であることに留意する．実際 \(N\) で \(a\) を定義する論理式を \(\varphi\) とすると \(N \vDash \exists!x (\varphi(x))\) が成り立つ．初等性により \(M \vDash \exists!x (\varphi(x))\) が成立する．\(M\) で \(\varphi(x)\) を満たす対象を \(b \in M\) とすると \(M \vDash \varphi(b)\) が成り立つ．すると初等性により \(N \vDash \varphi(b)\) が成り立ち \(a=b\)，したがって \(a \in M\) が成立する．以上の留意と定義可能性より \(\omega \in M\)，\(\omega_1 \in M\) は明らかである．さらに自然数は定義可能なので任意の \(n \in \omega\) に対して \(n \in M\) である．従って \(\omega \subset M\) も成立する．\(\omega_1\) は不可算なので \(\omega_1 \not\subset M\) も明らか．\(x \in L({\omega_2})\) を可算集合とする．このとき \(L({\omega_2}) \vDash \exists f (f : \omega \to x \) は全単射\()\) が成立する．従って初等性により \(M \vDash \exists f (f : \omega \to x \) は全単射\()\) が成り立つので \(f \in M\) を \(\omega\) から \(x\) への全単射とすると \(x = \{f(n) : n \in \omega\}\) が成立する．\(\omega \subset M\) だったので任意の \(n \in \omega\) に対して \(f(n) \in M\)，すなわち \(x \subset M\) が成り立つ．最後に \(\beta \notin M\) であるが，もし \(\beta \in M\) であるとすると，\(M\) において \(\beta\) と \(\omega_1\) の外延が一致し，\(M\) で外延性の公理が成り立つことから \(\omega_1 = \beta\) が成り立ち \(\omega_1 \not\subset M\) に矛盾する．\(\beta=\alpha+1\) とすると \(\alpha \in M\) なので \(\beta \in M\) となり矛盾が生ずるので \(\beta\) は極限順序数である．【証明終】
\[ -*-*- \]【\(\diamondsuit\) の存在証明】証明はすべて \(L({\omega_2})\) に相対化した論理式で考える．\(L({\omega_2})\) では \(\mathrm{ZF}-\mathrm{P}\) が成立することに留意する．極限順序数 \(\alpha\) と \(\xi < \alpha\) に対して \(A_\xi \subset \xi\) を満たす列 \(\langle A_{\xi} : \xi < \alpha \rangle\) が与えられたとき \(\varphi(\alpha, A, C)\) を次の論理式とする． \[ A \subset \alpha, C \subset \alpha, C \text{ は } \alpha \text{ の閉非有界集合であり } \forall \xi \in C( A \cap \xi \neq A_{\xi}) \tag{3.1} \] この \(\varphi(\alpha, A, C)\) は \(\mathrm{ZF}-\mathrm{P}\) を満たす \(L({\omega_2})\) の推移的部分集合に対して絶対的である．
各 \(\alpha<\omega_1\) に対する \(\alpha\) の部分集合の対の列 \(\mathcal{A} = \langle (A_\alpha, C_\alpha) : \alpha < \omega_1 \rangle\) を次のように再帰的に定義する．\(\alpha\) が \(0\) もしくは後続順序数のときは \(A_\alpha = C_\alpha = \emptyset\) とする．\(\alpha\) が極限順序数だとして，\(\alpha\) 未満の各順序数 \(\xi\) に対する \(A_\xi\) と \(C_\xi\) はすでに定められているとしよう． ここで \(\varphi(\alpha, A, C)\) を満たす \(A, C\) が存在するならばそのような対 \((A, C)\) で \(<_L\)-最小のものを \((A_\alpha, C_\alpha)\) とする．存在しない場合 \(A_\alpha = C_\alpha = \emptyset\) とする．
このように定義された \(\langle A_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle\) が \(\diamondsuit\)-列となることを示す．そのために仮に結論を否定して，\(\langle A_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle\) が \(\diamondsuit\)-列でないと仮定する．このとき \(A \subset \omega_1\) と閉非有界な \(C\subset\omega_1\) が存在して，すべての \(\alpha\in C\) について \(A\cap\alpha\neq A_\alpha\) となる．言い換えると \(\varphi(\omega_1, A, C)\) が成立する．この条件を満たす対 \((A, C)\) で \({\lt}_L\)-最小のものを \((A_{\omega_1}, C_{\omega_1})\) とする．
ここで可算な初等的部分構造 \(M \prec L({\omega_2})\) を考える．\(\beta = \omega_1 \cap M\) とすると \(\beta\) は「本当の」極限順序数である．定義可能性により \(\mathcal{A} = \langle (A_\alpha, C_\alpha) : \alpha < \omega_1 \rangle \in M\) が成立する (この条件は後で \(\varphi(\alpha, A, C)\) を \(M\) で考えるときに必要となる)．さらに \((A_{\omega_1}, C_{\omega_1}) \in M\) すなわち \(A_{\omega_1} \in M, C_{\omega_1} \in M\) が成り立つ．\(\pi \colon M \to T\) を推移的崩壊とする．\(\pi(\omega_1) = \{\pi(\xi) : \xi \in \omega_1 \cap M \} = \{\xi : \xi \in \beta \} = \beta\) であることに注意すると \(M \vDash \varphi(\omega_1, A_{\omega_1}, C_{\omega_1})\) なので \(T \vDash \varphi(\beta, \pi(A_{\omega_1}), \pi(C_{\omega_1}))\) が成り立つ．ここで定理3.9 (圧縮補題) により \(T=L(\gamma)\) と書けることに注意すると \((\pi(A_{\omega_1}), \pi(C_{\omega_1}))\) は \(T = L(\gamma)\) で \(\varphi(\beta, A, C)\) を満たす 「本当の」 \({\lt}_{L}\)-最小 (「本当」に関して \(L(\gamma)\) の性質が効く) の要素であることが言える．
そして絶対性により \(L({\omega_2}) \vDash \varphi(\beta, \pi(A_{\omega_1}), \pi(C_{\omega_1}))\) が成立して，\((\pi(A_{\omega_1}), \pi(C_{\omega_1}))\) は \(L({\omega_2})\) で \(\varphi(\beta, A, C)\) を満たす \({\lt}_{L}\)-最小の要素である．従って定義により \(\pi(A_{\omega_1}) = A_\beta\)，\(\pi(C_{\omega_1}) = C_\beta\) が成り立つ．さらに \[ \pi(A_{\omega_1}) = \big\{\,\pi(\xi) \,:\, \xi \in A_{\omega_1} \cap M \,\big\} = \big\{\,\pi(\xi) \,:\, \xi \in A_{\omega_1} \cap \beta \,\big\} = \big\{\,\xi \,:\, \xi \in A_{\omega_1} \cap \beta \,\big\} = A_{\omega_1} \cap \beta \] が成り立ち，同様に \(\pi(C_{\omega_1}) = C_{\omega_1} \cap \beta\) である．従って \(A_{\omega_1} \cap \beta = A_{\beta}\)，\(C_{\omega_1} \cap \beta = C_\beta\) が成立する．そして \(C_\beta \subset \beta\) が非有界であることと \(C_{\omega_1}\) が \(\omega_1\) で閉じていることに留意すると \(\beta \in C_{\omega_1}\) と \(A_{\omega_1} \cap \beta = A_{\omega_1}\) が成り立つが，これは \(\varphi(\omega_1, A_{\omega_1}, C_{\omega_1})\) に反する．【証明終】