まず \(\alpha=\beth_\alpha\) から \(|L(\alpha)|=|R(\alpha)|\) を導く.
仮定 \(\alpha=\beth_\alpha\) から \(\omega+\alpha=\alpha\) であり, \(\alpha=\beth_\alpha=|R(\omega+\alpha)|=|R(\alpha)|\), したがって \(\alpha=|R(\alpha)|\) である. また, \(\beth_\alpha\) は基数なので \(\alpha=|\alpha|\) である. さらに \(\alpha\subset L(\alpha)\) であるから \(|\alpha|\leq|L(\alpha)|\) である. これらのことから \[ |L(\alpha)|\geq |\alpha|=\alpha=|R(\alpha)| \] となる. いっぽう, \(L(\alpha)\subset R(\alpha)\) から \(|L(\alpha)|\leq |R(\alpha)|\) でもあるから, 等式 \(|L(\alpha)|=|R(\alpha)|\) が得られる.
逆に \(|L(\alpha)|=|R(\alpha)|\) から \(\alpha=\beth_\alpha\)を導く.
仮定から \(\alpha>\omega\) なので \(R(\alpha)\) は不可算集合である. また, 仮定 \(|L(\alpha)|=|R(\alpha)|\) と定理1.14 (つまり等式 \(|\alpha|=|L(\alpha)|\)) により, \(\alpha\) も不可算順序数であって \(\omega+\alpha=\alpha\) をみたす. したがって \(|R(\alpha)|=\beth_\alpha\) となる. ふたたび定理1.14によって \(|\alpha|=|L(\alpha)|=|R(\alpha)|=\beth_\alpha\) であるが, 一般に \(|\alpha|\leq\alpha\leq\beth_\alpha\) であるから, 等式 \(\alpha=\beth_\alpha\) が成立する.