仮定 \(\mathbf{V}=\mathbf{L}\) は選択公理を導くから, 演習問題[2]の結果を利用できる. そこで, \(L(\alpha)=R(\alpha)\) であれば \(|L(\alpha)|=|R(\alpha)|\), したがって \(\alpha=\beth_\alpha\) となる.
逆に \(\alpha=\beth_\alpha\) から \(L(\alpha)=R(\alpha)\) を導く. 定理4.6を用いると, 順序数 \(\beta\) にかんする超限帰納法によって \[ \forall \beta\Big(\,R(\omega+\beta)\subset L(\omega_\beta)\,\Big) \] が示される. いっぽう, \(L(\omega+\beta)\subset R(\omega+\beta)\) は定義からすぐにわかる. そこで, \(\omega+\beta=\omega_\beta\) のとき \(R(\omega+\beta)=L(\omega+\beta)\) となる. いま仮定から \(\alpha=\beth_\alpha\) であるが, 一般に \(\alpha>\omega\) のとき \(\alpha\leq\omega+\alpha\leq\omega_\alpha\leq\beth_\alpha\) であるから, このとき \(\alpha=\omega+\alpha=\omega_\alpha\) であって, 結局 \(R(\alpha)=L(\alpha)\) となる.