第VI章 演習問題 [4]

(A) まず次のことを証明する: \(\delta\) を無限基数, \(\mathbf{M}\) をクラスとして \[ \forall x\Big(\,x\subset \mathbf{M}\land |x|\leq\delta\,\rightarrow\,x\in \mathbf{M}\,\Big)\tag{*} \] が成立しているとする. このとき \(H(\delta^+)\subset \mathbf{M}\) である.

この命題(A)を \(H(\delta^+)\) の要素 \(x\) の階数にかんする帰納法で証明する. \(x\in H(\delta^+)\) なので \(|\mathrm{tr\,cl}(x)|\leq\delta\), したがって \(|x|\leq\delta\) である. また, 帰納法の仮定として \(x\) より低い階数の \(H(\delta^+)\) の要素はすべて \(\mathbf{M}\) に属する. したがって \(x\subset \mathbf{M}\) である. これらのことと式(*)から \(x\in\mathbf{M}\) となる.

(B) 次に \(\mathbf{V}=\mathbf{L}\) を仮定して, 無限基数 \(\delta\) について \(L(\delta^+)=H(\delta^+)\) を証明する. まず \(x\in L(\delta^+)\) とすると \(\rho(x)<\delta^+\) である. \(x\subset L(\rho(x))\) であり \(L(\rho(x))\) は推移的だから \(\mathrm{tr\,cl}(x)\subset L(\rho(x))\)である. このことと補題1.14から \[ \big|\mathrm{tr\,cl}(x)\big|\leq\big|L(\rho(x))\big|=\big|\rho(x)\big|\leq\delta \] したがって, \(x\in H(\delta^+)\) である. これで \(L(\delta^+)\subset H(\delta^+)\) となることがわかった.

逆向きの包含関係を示すには, (A)で示したとおり, 条件 \[ \forall x\subset L(\delta^+)\Big(\,\big|x\big|\leq\delta\,\rightarrow\,x\in L(\delta^+)\,\Big) \] を確かめればよい. そのため \(x\subset L(\delta^+)\) かつ \(|x|\leq\delta\) としよう. 選択公理により \(\delta^+\) は正則順序数であるから \(\sup\{\,\rho(y)\,:\,y\in x\,\}<\delta^+\) となっている. そこで, ある順序数 \(\alpha<\delta^+\) について \(x\subset L(\alpha)\) となるが, このとき定理4.6によって \(x\in \mathcal{P}(L(\alpha))\subset L(\alpha^+)\subset L(\delta^+)\) である.

(C) ここまでで \(\kappa=\delta^+\) の場合に等式 \(L(\kappa)=H(\kappa)\) の成立することが確かめられた. \(\kappa=\omega\) のときは補題1.13(b)にあるとおり \(L(\omega)=R(\omega)\) だが, 第IV章の補題6.3によって, これは \(H(\omega)\) に一致する. また, \(\kappa\) が極限基数のときは \[ L(\kappa)=\bigcup\big\{\,L(\delta^+)\,:\omega\leq \delta<\kappa\,\big\} =\bigcup\big\{\,H(\delta^+)\,:\omega\leq \delta<\kappa\,\big\} =H(\kappa) \] となる. これですべての場合が検証できた.