第VI章 演習問題 [7]

示すべきは, すべての \(x \in P(\omega)^{L(S)}\) に対して, ある \(\gamma, \delta < \omega_1\) が存在して \(x \in L_\gamma(S \cap \delta)\) を満たすという主張である. これにより, \[ P(\omega)^{L(S)} \subseteq \bigcup\{L_\gamma(S \cap \delta) : \gamma, \delta < \omega_1\} \] が成り立ち, 従って CH が導かれる. なお, \(\omega_1\) より上の GCH については, L に関する通常の証明と同様に進行する.

\(x \subseteq \omega\) とすると, ある可算順序数 \(\alpha < \omega_1\), および \(\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}\), 集合 \(S\), 論理式 \(\phi\) によって \[ x = \{u \in L_\alpha(S) : L_\alpha(S) \models \phi(u, S, \alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1})\} \] と表せる. したがって, \(\{S\} \cup \max(\alpha_0 + 1, \ldots, \alpha_{n-1} + 1)\) に関する \(L_{\omega_1}(S)\) のスコーレム閉包を \(M\) とすると, \(x \in M\) である.

\(M\) は可算であるから, \(\alpha = M \cap \omega_1\) とすると, 定理5.2の証明にあるような方法によって, \(M\) の Mostowski 崩壊 \(N\) に対して \(S \cap \alpha \in N\) がわかる. このとき, ある \(\gamma, \delta < \omega_1\) に対して \(N \subseteq L_\gamma(S \cap \delta)\) が成り立つ.