\((\mathrm{i}) \Rightarrow (\mathrm{ii})\)：\(\lozenge^+\) から導かれる CH より \([\omega_1]^\omega\) から \(\omega_1\) への双射が存在する. これを定理7.10の証明に従って, \(\lozenge^+\) から構成されるクレパ木 \(T\) の任意の共終枝が把握できるように \(T\) を改造する.
具体的には, 上の双射を \(f \in 2^{\omega_1}\) としてコード化し, \(T\) の各共終枝 \(g \in 2^{\omega_1}\) について \(g' \in 2^{\omega_1}\) を \[ g'(\alpha) = \begin{cases} f(\beta + n) & (\text{ある極限順序数 } \beta \text{ について } \alpha = \beta + 2n) \\ g(\beta + n) & (\text{ある極限順序数 } \beta \text{ について } \alpha = \beta + 2n + 1) \end{cases} \] とすればよい. このような \(g'\) 全体を共終枝の集合とする \(\omega_1\) 木 \(U\) はクレパ木である.
定理1.3の証明によって構成されたほとんど交わりがない集合族 \(\mathcal{B}\) を用いる. (\(\mathrm{ii}\)) は濃度が \(\aleph_1\) であるような部分集合 \(A \subseteq \omega_1\) の特性関数についてのみ示せばよい（可算部分集合についてはその上限より十分大きい順序数の終切片を上に追加すれば濃度が非可算である）.
\(A \subseteq \omega_1\) を非可算とすると, 定理1.3と双射 \(f\) によって \(\bigcup f^{-1}(B) = A\) であるような \(B \in \mathcal{B}\) が一意的に存在する. このとき \(T\) の共終枝になるような \(X(B, C)\) は \(B\) の非可算部分集合だから, \(f(X(B, C))\) も非可算である.
このとき \(A \cap \alpha\) が \(f(X(B, C))\) に属するような \(\alpha < \omega_1\) が非可算個存在するから, \(\bigcup f(X(B, C)) = A\) である. よって \(X(B, C)\) と \(f\) を把握するような \(U\) の枝 \(g\) は \(A \in L(g)\) を満たす.
\((\mathrm{ii}) \Rightarrow (\mathrm{iii})\)：明らか.
\((\mathrm{iii}) \Rightarrow (\mathrm{i})\)：同章8の結果を用いる. \(h\) は \(\aleph_1^{L(h)} = \aleph_1^V\) を満たすようなものであると仮定して一般性を失わない. \(T\) の共終枝全体の集合を \(B_T\) として, 各 \(g \in B_T\) について \(q_g(\alpha)\) を \(L(g, h)\) における \(q(\alpha)\) とする.
このとき \[ \mathcal{A}_\alpha = P(\alpha) \cap \bigcup\{L_{q_g(\alpha)}(g \cap \alpha, h \cap \alpha) : g \in B_T\} \] とする. 各 \(\alpha < \omega_1\) について \(\{g \cap \alpha : g \in B_T\}\) は \(T\) が \(\omega_1\) 木であることから高々可算であり, 従って \(\mathcal{A}_\alpha\) も可算集合である.
あとは \(A \subseteq \omega_1\) と, これが属するような \(L(g, h)\) における \(\lozenge^+\) に従って非有界閉集合 \(C\) を取ってくればよい. 非有界閉性は \(\Delta_0\) であるから, これは \(V\) での \(\lozenge^+\) を導く.
この解答は, 2022年4月に受け取っていたものです. いろいろの事情で掲載が遅くなったことをお詫びします (藤田)