\(p \in \mathbb{P}\) をアトムとする. このとき, \(G = \{\,x\,:\, \exists y(y \leq p \wedge y \leq x)\,\}\) が求めるフィルターである.
\(p \in G\) と第II章定義2.4.におけるフィルターの条件(b)は明らかである. \(D \subset \mathbb{P}\) を任意の稠密集合とする. \(p \geq q \in D\) なる \(q\) を取れば, \(q \in G\) でもあるので \(D \cap G \neq 0\).
フィルターの条件(a)を示す. \(q,r \in G\) とする. \(s \leq p \wedge s \leq q , t \leq p \wedge t \leq r\) なる \(s,t\) をとる. \(p\) がアトムなので \(s\) と \(t\) は両立する. よって, \(u \leq s \wedge u \leq t\) なる \(u\) が存在し, \(u \leq q , u \leq r , u \in G\) である.