(c)\(\rightarrow\)(b)は明らか．\(A \subset \mathbb{P}\) を \(M\) に属する任意の極大反鎖とすると，\(A\) は \(\forall p \in \mathbb{P} \exists q \in A \neg(p \bot q)\) を満たす．
(b)\(\rightarrow\)(a)を示す．稠密集合 \(D \in M\) を任意に取る．\(M\) でツォルンの補題を適用することにより，\(B \subset D\) であるような \(B\) のうちで極大な反鎖であるものを \(A \in M\) として取る．このとき，\(A\) は \(\mathbb{P}\) の極大反鎖である（実際，任意の \(q \in \mathbb{P}\) に対して，\(D \ni p \leq q\) なる \(p\) を取ると，この \(p\) は \(A\) のいずれかの要素と両立するから \(q\) も \(A\) のいずれかの要素と両立する）．よって，\(G \cap A \neq 0\) かつ \(A \subset D\) なので，\(G \cap D \neq 0\) である．
(a)\(\rightarrow\)(c)を示す．\(E \subset \mathbb{P}\) を \(M\) に属していて \(\forall p \in \mathbb{P} \exists q \in E \neg(p \bot q)\) を満たすものとする．このとき，\(D = \{ r \in \mathbb{P}\,:\,\exists s \in E(r \leq s) \}\) とすると \(D\) は稠密である（実際，任意の \(p \in \mathbb{P}\) に対して，\(q \in E\) があって \(r \leq p\) かつ \(r \leq q\) なる \(r\) が取れる．定義により \(r \in D\) である）．\(G \cap D \neq 0\) から \(u \in G \cap D\) を取る．\(E\) の定義により \(u \leq v \in E\) なる \(v\) があり，\(G\) のフィルター性により，\(v \in G\) となり，\(v \in G \cap E \neq 0\) である．
この定理の証明において，フィルター \(G\) が満たすべき条件(1)は使われていないからこの条件を(1')に弱めても構わない．