まず，\(M\) がZFCのモデルであるので \(\omega \in M\), \(\omega \times \omega \in M\) である．\(o(M)\) は \(V\) では可算順序数なので，\(S \in V\), \(S \subset \omega \times \omega\) を \(\omega\) の長さ \(o(M)\) の整列順序づけである関係とする．
次に，\(\omega\) は \(M\) において可算，\(\mathbb{P}\) は仮定により \(M\) において可算以上の濃度をもつので，単射 \(f \in M : \omega\to\mathbb{P}\) をとる．ここで，\(f“S = H \subset \mathbb{P}\) とする．
すると，\(H \in M[H]\) であり，\(f \in M \subset M[H]\) であるから，もし，\(M[H]\) が \(\mathrm{ZF}-\mathrm{P}\) のモデルであるなら，\(f^{-1} \in M[H]\), \((f^{-1})“H = S \in M[H]\) である．このとき，\(\omega , S \in M[H]\) であるから，\(M[H]\) の中で \(\omega\) を長さ \(o(M)\) の集合に整列づけができる．第IV章定理5.4により，順序型は絶対的であり，また \(o(M)\) は順序数であるので，第I章定理7.6の \(M[H]\) への相対化により，\(o(M) \in M[H]\) となってしまう．これは \(o(M) =o(M[H]) \notin M[H]\) であることに矛盾する．