\(\mathbb{P}\) がアトムをもたないので, 帰納法により写像 \(k \in M : {^{<\omega}2} \longrightarrow \mathbb{P}\) を, 次を満たすようにとれる: 任意の \(s,t \in {^{<\omega}2}\) について, \(s \subsetneq t\) と \(k(s) >k(t)\) が同値.
具体的には次のようにする. \(q_\emptyset \in \mathbb{P}\) を任意にとり, \(k(\emptyset)=q_\emptyset\) と定義する. \(s \in {^{<\omega}2}\) に対して \(k(s)\) が定まっているとき, \(\mathbb{P}\) がアトムをもたないので両立しない2元 \(q_{s^\frown0}<k(s)\), \(q_{s^\frown1}<k(s)\) をとって \(k(s^\frown0)=q_{s^\frown0}\), \(k(s^\frown1)=q_{s^\frown1}\) と定義する.
全単射 \(g \in M : \omega \times \omega \longrightarrow \omega\) をとる.
\(h : \omega \longrightarrow 2\) を, \((h \circ g)^{-1}(\{1\})\) が \(\omega\) の \(o(M)\) より長い整列順序付けになるものとする.
\(H = \{ p \in \mathbb{P} : \exists n \in \omega (p \geq k(h \upharpoonright n)) \}\) とおけばこれは \(\mathbb{P}\) 上のフィルターである.
\(M[H]\) が \(\mathrm{ZF}-\mathrm{P}\) のモデルであるとする. \(h = \bigcup k^{-1}(H) \in M[H]\) から, \((h \circ g)^{-1}(\{1\}) \in M[H]\) である. [A2]の解答での議論と同様に, \(o(M[H])=o(M) \in M[H]\) であることになるので矛盾である.