まず，\(\mathbb{P}\) はアトムを持たないから無限集合で，また \(\mathbb{P}\subset M\) より可算であるから \(|\mathbb{P}|=\omega\) である．\(|\mathcal{P}(\mathbb{P})|=2^\omega\) であるので，\(M\) 上の \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルターの総数も \(2^\omega\) を超えない．ゆえに，\(2^\omega\) から \(M\) 上の \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター全体への単射が存在することを示せば題意は示される．
\(\mathbb{P}\) の稠密部分集合で \(M\) に属するものは可算個しかないので，それを \(D_n\) \((n<\omega)\) によって数え上げる． \(p_0 = p_{(\;)} \in D_0\) を任意に選ぶ．\(\mathbb{P}\) がアトムを持たないので，\(p_{(0)}', p_{(1)}' \leq p_0\) を両立しない2元として取る．\(D_1\) の稠密性により \(p_{(0)} \leq p_{(0)}',p_{(1)} \leq p_{(1)}'\) となる \(p_{(0)},p_{(1)} \in D_1\) を取る．\(\mathbb{P}\) がアトムを持たないので，\(p_{(00)}', p_{(01)}' \leq p_{(0)}\) を両立しない2元として取る．\(p_{(10)}', p_{(11)}' \leq p_{(1)}\) を両立しない2元として取る．\(D_2\) の稠密性により \(p_{(00)} \leq p_{(00)}'\), \(p_{(01)} \leq p_{(01)}'\), \(p_{(10)} \leq p_{(10)}'\), \(p_{(11)} \leq p_{(11)}'\) となる \(p_{(00)},p_{(01)}, p_{(10)},p_{(11)} \in D_2\) を取る．
以下，数学的帰納法により同様にして，完全二進木状の木を高さ \(\omega\) まで \(\mathbb{P}\) の順序関係において下方に伸ばしたものを得る．ここで，任意の \(x \in {}^\omega 2\) に対して，\(G(x) = \{\, q \in \mathbb{P} \,\big|\, \exists n \in \omega \,(q \geq p_{(x \upharpoonright n)}) \,\}\) はそれぞれ異なる \(M\) 上の \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルターである．この \(G\) が求めるべき単射であった．
小文字の \(p\) が頻出しているせいでベースラインが変に見えますが異常ではありません．