\(\sigma_G \cup \tau_G \subset (\sigma \cup \tau)_G\) を示す. \(x \in \sigma_G \cup \tau_G\)とする. \(x \in \sigma_G\) とする. (\(x \in \tau_G\) のときは対称的なのでよい.) このとき, ある \(p \in G\), \(\langle \rho,p \rangle \in \sigma\) が存在して \(x=\rho_G\) と表せる. 明らかに \(\langle \rho,p \rangle \in \sigma \cup \tau\) なので \(x=\rho_G \in (\sigma \cup \tau)_G\).
次に, \((\sigma \cup \tau)_G \subset \sigma_G \cup \tau_G\) を示す. \(x \in (\sigma \cup \tau)_G\) とする. このとき, ある \(p \in G ,\langle \rho,p \rangle \in \sigma \cup \tau\) が存在して \(x=\rho_G\) と表せる. \(\langle \rho,p \rangle \in \sigma\) のとき \(\rho_G \in \sigma_G\) であり, \(\langle \rho,p \rangle \in \tau\) のとき \(\rho_G \in \tau_G\) なので, \(x=\rho_G \in \sigma_G \cup \tau_G\).
以上より, \(\sigma_G \cup \tau_G = (\sigma \cup \tau)_G\).