\(\pi_G \subset \bigcup(\tau_G)\) を示す. \(x \in \pi_G\) とする. ある \(p \in G ,\langle \rho,p \rangle \in \pi\) が存在して \(x=\rho_G\) と表せる. このとき, ある \(\langle \sigma,q \rangle \in \tau\) と \(r\) が存在して, \(\langle \rho,r \rangle \in \sigma\) かつ \(p \leq r\) かつ \(p \leq q\) である. \(G\) のフィルター性により \(q,r \in G\) であるので, \(x=\rho_G \in \sigma_G \in \tau_G\) よって, \(x \in \bigcup(\tau_G)\).
次に, \(\bigcup(\tau_G) \subset \pi_G\) を示す. \(x \in \bigcup(\tau_G)\) とする. \(x \in y \in \tau_G\) となる \(y\) をとる. ある \(q \in G\) と \(\langle \sigma,q \rangle \in \tau\) が存在して \(\sigma_G = y\) と表せる. ある \(r \in G\) と \(\langle \rho,r \rangle \in \sigma\) が存在して \(\rho_G = x\) と表せる. \(r,q \in G\) で \(G\) がフィルターなので, \(r,q\) の共通拡大 \(p \in G\) をとる. このとき, \(\langle \rho,p \rangle \in \pi\) である. よって, \(x = \rho_G \in \pi_G\).
以上より, \(\pi_G = \bigcup(\tau_G)\).