\(\pi_G \subset \tau_G \cap \sigma_G\) を示す．\(x \in \pi_G\) とする．\(\langle \check{n} , p \rangle \in \pi \wedge n=x\) となる \(p \in G\) と \(n\) をとる．\(p \leq q \wedge p \leq r \wedge \langle \check{n} , q \rangle \in \tau \wedge \langle \check{n} , r \rangle \in \sigma\) となる \(q,r\) をとる． \(G\) がフィルターで \(p \in G\) であるから \(q,r \in G\) である．よって， \(n = x \in \tau_G \cap \sigma_G\) である．
\(\tau_G \cap \sigma_G \subset \pi_G\) を示す．\(x \in \tau_G \cap \sigma_G\) とする．\(x = y_G \wedge \langle y , q \rangle \in \tau \wedge x = z_G \wedge \langle z , r \rangle \in \sigma\) となる \(q,r \in G\) と \(y \in \textrm{dom}(\tau)\)，\(z \in \textrm{dom}(\sigma)\) をとる．\(\textrm{dom}(\tau),\textrm{dom}(\sigma) \subset \{ \check{n}\,:\,n \in \omega \}\)から，\(y=\check{m} \wedge z=\check{l}\) となる \(m,l \in \omega\) をとる． \(y_G = z_G\)，\(y_G = m\)，\(z_G = l\) であるので \(x = m = l\) であって， \(\langle \check{m} , q \rangle \in \tau \wedge \langle \check{m} , r \rangle \in \sigma\) である． \(G\) がフィルターなので \(p \leq q \wedge p \leq r\) となる \(p \in G\) をとる．このとき， \(\langle \check{m} , p \rangle \in \pi\) であり， \(m = x \in \pi_G\) である．
ジェネリック拡大における共通部分 \(\tau_G\cap\sigma_G\) の各要素 \(x\) はなんらかの \(\tau'\in\mathrm{dom}(\tau)\)と \(\sigma'\in\mathrm{dom}(\sigma)\) を名前としてもつ \((\tau'_G=\sigma'_G=x)\) のですが，名前 \(\tau\) と \(\sigma\) をまったく一般に取ってしまった場合，一般には \(\tau'=\sigma'\) である保証はなく，それどころか \(\mathrm{dom}(\tau)\) と \(\mathrm{dom}(\sigma)\) に共通の要素がある保証もなくて，せいぜいのところ， \(\tau'\) と \(\sigma'\) のあらわす集合が一致するように \(G\) の要素によって«強制される»だけです．この問題の場合のように \(\mathrm{dom}(\tau)\cup \mathrm{dom}(\sigma)\) に属する名前の素性が特別によくわかっているのでない限り，ジェネリック拡大における集合の共通部分に名前をつける作業はそれほど簡単ではありません．