問題文の \(\sigma\) の定義では \(n \in \omega\) であることが明示されていないので以下のように修正することを提案します．
\(\sigma = \{ \langle \check{n},p \rangle : \forall q \in \mathbb{P}(\langle \check{n},q \rangle \in \tau \rightarrow p \perp q) \}\)
↓
\(\sigma = \{ \langle \check{n},p \rangle : n \in \omega \land \forall q \in \mathbb{P}(\langle \check{n},q \rangle \in \tau \rightarrow p \perp q) \}\)
また，ヒント中の \(n\) が固定されたものであることを明示するために以下のように修正することを提案します:
集合 \(\{ r: \exists p \geq r (\langle \check{n},p \rangle \in \sigma \lor \langle \check{n},p \rangle \in \tau)\}\) は稠密集合
↓
任意の \(n \in \omega\) に対して，集合 \(\{ r: \exists p \geq r (\langle \check{n},p \rangle \in \sigma \lor \langle \check{n},p \rangle \in \tau)\}\) は稠密集合．
[A8]の証明:
まず，補題「任意の \(n \in \omega\) に対して，集合 \(D = \{ r: \exists p \geq r (\langle \check{n},p \rangle \in \sigma \lor \langle \check{n},p \rangle \in \tau)\}\) は稠密集合」を示す．
\(q \notin D\) とする．今， \((\langle \check{n},q \rangle \notin \sigma \lor \langle \check{n},q \rangle \notin \tau)\) である． \(\langle \check{n},q \rangle \notin \sigma\) から，ある \(t \in \mathbb{P}\) があって \((\langle \check{n},t \rangle \in \tau \land \neg(q \perp t))\) である． \(\neg(q \perp t)\) から \(s \leq q \land s \leq t\) なる \(s\) をとる．今， \(s \in D \land s \leq q\) である．
\(\omega \setminus \tau_G \subset \sigma_G\) を示す． \(n \in \omega \land n \notin \tau_G\) とする． \(n \in M\) から \(\check{n} \in M^{\mathbb{P}}\) であり， \(\forall p \in G ( \langle \check{n},p \rangle \notin \tau)\) である． \(D \in M\) が稠密集合であったので， \(r \in G \cap D\) を取る．このとき， \(r \leq p \land (\langle \check{n},p \rangle \in \sigma \lor \langle \check{n},p \rangle \in \tau)\) なる \(p\) を取る．今， \(r \in G\) から \(p \in G\) である． \(\langle \check{n},p \rangle \notin \tau\) から \(\langle \check{n},p \rangle \in \sigma\) である．よって， \((\check{n})_G = n \in \sigma_G\)
\(\sigma_G \subset \omega \setminus \tau_G\) を示す． \(n \in \sigma_G\) とする．
(1) \(n \in \omega\) を示す．今， \(p \in G\)，\(\mu \in M^{\mathbb{P}}\) があって， \(\langle \mu , p \rangle \in \sigma \land \mu_G = n\) となる．ここで，ある \(n \in \omega\) があって， \(\check{n} = \mu\) であり， \(n = \mu_G = n \in \omega\) である．
(2) もし， \(n \in \tau_G\) であったとすると，ある \(r \in G\) があって \(\langle \nu,r \rangle \in \tau \land \nu_G = n\) である． \(\textrm{dom}(\tau) \subset \{ \check{n} : n \in \omega \}\) から \(m \in \omega\) があって \(\check{m} = \nu\) である． \(m = \nu_G = n\) から \(m \in \sigma_G\) である．ある \(s \in G\) があって \(\langle \theta\)，\(s \rangle \in \sigma \land \theta_G = m\) である． \(\textrm{dom}(\sigma) \subset \{ \check{n} : n \in \omega \}\) から \(l \in \omega\) があって \(\check{l} =\theta\) である．よって， \(l = \theta_G = m\) であり， \(\check{l}=\check{m}\) から \(\theta = \nu\) である． \(\langle \nu,r \rangle \in \tau \land \langle \nu,s \rangle \in \sigma \land r \in G \land s \in G\) であるが，これは \(r \perp s\) に矛盾．よって， \(n \notin \tau_G\) である．