まず、整礎的関係 \(R\) を \(\langle s,t \rangle R \langle u,v \rangle \Leftrightarrow s \in t \wedge u \in v\) で定める.
\(x=y \rightarrow 1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x}=\check{y} \) を示す．\(R\) に関する帰納法で証明する．\(x=y\) とする．\(\forall \langle z,w \rangle R \langle x,y \rangle (z=w \rightarrow 1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{z}=\check{w})\) と仮定する．\(1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x}=\check{y}\) を示せばよい．定義3.3(a)-(\(\alpha\))の条件が成り立つことを示す．(a)-(\(\beta\))は対称なので同様に示せる．\(x=y=0\) のときは，明らかに成り立つ．\(x=y \neq 0\) であるときについて考える．\(\langle \pi_1 , s_1 \rangle \in \check{x}\) とする．\(\check{x}\) の定義により，\(z \in x\) を用いて \(\langle \pi_1 , s_1 \rangle = \langle \check{z} , 1 \rangle\) と表せる．\(D=\{ q \in \mathbb{P} : \exists w \in y ( q \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{z}=\check{w} ) \}\) が稠密であることを示せばよい．\(q \in \mathbb{P}\) とする．\(x=y\) なので \(z=w\) なる \(w \in y\) が存在する．\( z=w\) なので，帰納法の仮定により \(1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{z}=\check{w}\) である．\(q \leq 1\) であるので，補題3.4により，\(q \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{z}=\check{w}\) である．すなわち，\(q \in D\) であり，\(D\) は稠密である.
\(x \neq y \rightarrow 1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \neg( \check{x} = \check{y} )\) を示す．\(R\) に関する帰納法で証明する．\(x \neq y\) とする．\(\forall \langle z,w \rangle R \langle x,y \rangle (z \neq w \rightarrow 1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \neg( \check{z}=\check{w} ) )\) と仮定する．\(1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \neg( \check{x}=\check{y} )\) を示す．\(q \in \mathbb{P}\) とする．\(q \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x}=\check{y}\) とならないことを示せばよい．
背理法によって示す．\(q \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x}=\check{y}\) であると仮定する．\(x \neq y\) なので \(\exists z \in x \forall w \in y (z \neq w)\) または \(\exists w \in y \forall z \in x (z \neq w)\) が成り立つ．\(\exists z \in x \forall w \in y (z \neq w)\) の場合について証明を行う．\(\exists w \in y \forall z \in x (z \neq w)\) の場合については対称なので同様に示される．\(z \in x\) を \(\forall w \in y (z \neq w)\) であるものとして取る．今，\(q \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x}=\check{y}\) であることから \(\langle \check{z}, 1 \rangle \in \check{x}\) に対して，\(E = \{ r \leq q : \exists w \in y ( r \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{z}=\check{w} ) \}\) が \(q\) 以下で稠密である．そこで，\(s \in E\) とする．\(w \in y\) が存在して，\(s \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{z}=\check{w}\) である．しかし \(z \neq w\) から \(1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \neg( \check{z}=\check{w} )\) である．\(s \leq 1\) であるので，\(s \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{z}=\check{w}\) ではない．これは矛盾である．
\(x \in y \rightarrow 1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x} \in \check{y}\) を示す．\(x \in y\) とする．\( 1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x} \in \check{y}\) を示す．
\(D=\{ q \in \mathbb{P} : \exists w \in y ( q \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{w} = \check{x} ) \}\) が稠密であることを示せばよい．\(q \in \mathbb{P}\) とする．\(x \in y\) である．\(x = x\) であるから \(( x = x \rightarrow 1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x} = \check{x})\) より，\(1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x} = \check{x}\) である．補題3.4により，\(q \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x} = \check{x}\) である．よって \(q \in D\) であり，\(D\) は稠密である．
\(x \notin y \rightarrow 1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \neg( \check{x} \in \check{y} )\) を示す．\(x \notin y\) とする．背理法によって示す． \(q \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{x} \in \check{y}\) なる \(q\) があったとする．\(E = \{ r \in \mathbb{P} : \exists w \in y ( r \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{w} = \check{x} )\}\) が \(q\) 以下で稠密である．\(r \leq q\) と \(w \in y\) を \( r \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{w} = \check{x}\) であるようにとる．\(x \notin y \wedge w \in y\) より，\(w \neq x\) である．よって \(1 \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \neg( \check{w} = \check{x})\) である．つまり，\(r \,{\|\kern-0.40em-}^{*}\, \check{w} = \check{x}\) ではない．これは矛盾である．