\(G \subset \mathbb{P}\) として，\(G\) が \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックであることと \(G \cup \{ 1 \}\) が \(M\) 上 \(\mathbb{Q}\)-ジェネリックであることが同値であることを示す.
まず，\(G \subset \mathbb{P}\) が \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックであるとする. \(\subset \mathbb{Q}\)，\(D \in M\) を \(\mathbb{Q}\) の稠密部分集合すると，\(D \setminus \{ 1 \} \in M\) は \(\mathbb{P}\) の稠密部分集合である. よって，\[ 0 \neq G \cap (D\setminus \{ 1 \}) \subset (G \cup \{ 1 \}) \cap D \] である. よって，\(G \cup \{ 1 \}\) は \(M\) 上 \(\mathbb{Q}\)-ジェネリックである.
次に，\(G \cup \{ 1 \}\) が \(M\) 上 \(\mathbb{Q}\)-ジェネリックであるとする. \(D \subset \mathbb{P}\)，\(D \in M\) を \(\mathbb{P}\) の稠密部分集合すると，\(D\) は \(\mathbb{Q}\) の稠密部分集合である. よって，\((G \cup \{ 1 \}) \cap D \neq 0\) である. \(D \subset \mathbb{P}\) から \(1 \notin D\) であり，\(G \cap D \neq 0\) である. よって，\(G\) は \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックである.
\(M[G]=M[G \cup \{ 1 \}]\) を示す. \(\mathbb{P}\)-名前に関する val と \(\mathbb{Q}\)-名前に関する val は異なる定義になることを踏まえると，それぞれ，\(\tau \in M^{\mathbb{P}}\)，\(\pi \in M^{\mathbb{Q}}\) に対して \[ \begin{align*} \textrm{val}_{\mathbb{P}}(\tau,G) = & \big\{\,\textrm{val}_{\mathbb{P}}(\sigma,G)\,:\, \exists p \in G( \langle \sigma,p \rangle \in \tau ) \,\big\},\\ \textrm{val}_{\mathbb{Q}}(\pi,G \cup \{ 1 \}) = & \big\{\,\textrm{val}_{\mathbb{Q}}(\sigma,G \cup \{ 1 \})\,:\, \exists p \in G \cup \{ 1 \} ( \langle \sigma,p \rangle \in \pi ) \,\big\} \end{align*} \] と定義されていて， \[ \begin{gather*} M[G] = \big\{\, \textrm{val}_{\mathbb{P}}(\tau,G) \,:\, \tau \in M^{\mathbb{P}} \,\big\},\\ M[ G \cup \{ 1 \} ] = \big\{\,\textrm{val}_{\mathbb{Q}}(\pi , G \cup \{ 1 \} ) \,:\, \pi \in M^{\mathbb{Q}}\,\big \} \end{gather*} \] であることに注意.
\(M[G] \subset M[G \cup \{ 1 \}]\) を示す. \(x \in M[G]\) とする. ある \(\tau \in M^{\mathbb{P}}\) があって，\(x = \textrm{val}_{\mathbb{P}}(\tau,G)\) である. \(\mathbb{P}\)-名前は \(\mathbb{Q}\)-名前でもあることに注意して，\(\in\) に関する超限帰納法の仮定として，全ての \(\sigma \in \textrm{trcl}(\tau) \cap M^{\mathbb{P}}\) に対して，\(\textrm{val}_{\mathbb{P}}(\sigma,G) = \textrm{val}_{\mathbb{Q}}(\sigma , G \cup \{ 1 \} )\) が成り立っているとする. 今，\(x = \{ \textrm{val}_{\mathbb{P}}(\sigma,G): \exists p \in G( \langle \sigma,p \rangle \in \tau ) \}\) である. \(\tau \in M^{\mathbb{P}} $から$ 1 \notin \textrm{ran}(\tau)\) であることと数学的帰納法の仮定から，\(x = \textrm{val}_{\mathbb{Q}}(\tau ,G \cup \{ 1 \}) = \{ \textrm{val}_{\mathbb{Q}}(\sigma,G \cup \{ 1 \}): \exists p \in G \cup \{ 1 \} ( \langle \sigma,p \rangle \in \tau ) \}\) であることがわかる. ゆえに，\(x \in M[ G \cup \{ 1 \} ]\) である.
\(M[G \cup \{ 1 \}] \subset M[G]\) を示す. \(x \in M[G \cup \{ 1 \}]\) とする. ある \(\pi \in M^\mathbb{Q}\) があって \(x = \textrm{val}_{\mathbb{Q}}(\pi,G \cup \{ 1 \})\) である. \(r \in G\) を取り，\(M^{\mathbb{Q}} \times \mathbb{Q}\) 上に関数 \(g\) を，\(M^{\mathbb{Q}}\) 上に関数 \(f\) を次のように同時再帰によって定める. \[ \begin{gather*} p = 1 \text{ ならば } g ( \langle \rho, p \rangle ) = \langle f(\rho), r \rangle,\\ p \neq 1 \text{ ならば } g ( \langle \rho, p \rangle ) = \langle f(\rho), p \rangle.\\ f(\rho) = \{ g ( \langle \psi, p \rangle) : \langle \psi, p \rangle \in \rho \} \end{gather*} \] このとき，\(1 \notin \textrm{trcl}(f(\pi)) \cap \mathbb{Q}\) であり，\(f(\pi) \in M^{\mathbb{P}}\) であることが数学的帰納法によって確かめられ，また \(\sigma \in \textrm{trcl}(\pi) \cap M^{\mathbb{Q}}\) について \(\textrm{val}_{\mathbb{Q}}(\sigma,G \cup \{ 1 \}) = \textrm{val}_{\mathbb{P}}(f(\sigma),G)\) であることから \(\textrm{val}_{\mathbb{P}}(f(\pi),G) = x\) である. よって，\(x \in M[G]\) である. 以上により，\(M[G] = M[G \cup \{ 1 \}]\) である.