\(f \in M[G]\) なので, \(\tau \in M^\mathbb{P}\) を \(\tau_G = f\) なるものとして取る. ここで, \(B = \big\{\, b \in R^{M}(\textrm{rank}(\tau)) \,:\, \exists p \in \mathbb{P}\,\big(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{b} \in \textrm{ran}(\tau)\big) \,\big\}\) とおく. \(B\) は \(M\) 内で定義可能であり, \(R^{M}(\textrm{rank}(\tau)) \in M\) から, 内包性公理により, \(B \in M\) である.
\(\textrm{ran}(f) \subset B\) を示す. \(b \in \textrm{ran}(f)\) とすれば, 定理3.6(2)により, ある \(p \in G\) があって, \(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{b} \in \textrm{ran}(\tau)\) となる. また, \(\textrm{rank}(f) \leq \textrm{rank}(\tau)\) であり, \(b \in \textrm{ran}(f)\) から \(\textrm{rank}(b) < \textrm{rank}(f)\) である. よって, \(b \in R^{M}(\textrm{rank}(b)+1) = R(\textrm{rank}(b)+1) \cap M \subset R(\textrm{rank}(\tau)) \cap M = R^{M}(\textrm{rank}(\tau))\) である.