第VII章 演習問題 [B6]

まず,(1)や(2) からは (3) が導かれないことを示す.\(\mathbb{P} = \alpha\) として,最大元を \(0\) とし,\(\mathbb{P}\) の半順序としての順序構造は順序数間の大小関係の逆順序で定める.このとき、 \(\beta < \alpha\) に対して \(U_\beta = \{ \gamma \in \mathbb{P} : \gamma \geq \beta \}\) は \(\mathbb{P}\) の稠密開集合である.ここで \(\bigcap_{\beta <\alpha}U_\beta = 0\) であるので(3)は成り立たない.しかし,\(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(G\) はどのようにとったとしても \(\mathbb{P}=G \in M\) なので \(M = M[G]\) であり,すなわち(1)も(2)も成立する.

(1)\(\rightarrow\)(2)を示す.\(f \in {}^{\alpha} M \cap M[G]\) とする. \(f \in M\) を示せばよい.\(f \in M[G] : \alpha \longrightarrow M\) であるので演習問題[B5]の結果より,\(B \in M\) があって \(f : \alpha \longrightarrow B\) である.すなわち,\(f \in {}^{\alpha} B \cap M[G]\) である.仮定により \(f \in {}^{\alpha} B \cap M\) である.よって \(f \in M\) である.

(2)\(\rightarrow\)(1)を示す. \(B \in M\) とする. \(f \in {}^{\alpha} B \cap M [G]\) とする. \(f \in M\) を示せばよい.\(B \subset M\) であるから \(f \in {}^{\alpha} M\) である.よって \(f \in {}^{\alpha} M \cap M[G]\) であり,仮定により \(f \in {}^{\alpha} M \cap M \) であるので,\(f \in M\) である.

(3)\(\rightarrow\)(2)を示す. \(f \in {}^{\alpha} M \cap M[G]\) とする. \(f \in M\) を示せばよい.[B5]により,ある \(E \in M\) があって \(f \in M[G] : \alpha \longrightarrow E\) である. \(\tau_G = f\) なる \(\tau \in M^{\mathbb{P}}\) をとる. \(f \notin M\) と仮定する.すなわち,\(f \notin {}^{\alpha} E \cap M\) である. \({}^{\alpha} E \cap M = {({}^{\alpha} E)}^M = K \in M\) とおく.定理3.6.(2)により,ある \(p \in G\) があって \(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau : \check{\alpha} \longrightarrow \check{E} \wedge \tau \notin \check{K}\) である.各 \(\beta <\alpha\) に対して \(U_\beta = \{ q \in \mathbb{P} : q \bot p \vee \exists e \in E( q \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau(\check{\beta}) = \check{e} ) \}\) と定める.このとき,各 \(U_\beta\) は \(\mathbb{P}\) の稠密開集合である.(3)の仮定により,\(q \in \bigcap_{\beta < \alpha}U_\beta\) を \(q \leq p\) なるようにとる.今,各 \(\beta < \alpha\) に対して,\(q \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau(\check{\beta}) = \check{e} \) なる \(e \in E\) がとれ,これを \(h(\beta)\) とすることにより \(h \in M : \alpha \longrightarrow E\) を定義する.このとき,\(q \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau = \check{h}\) である.\(H \ni q\) なる \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(H\) をとると,\(\tau_H = h \in K\) である.しかし,\(p \in H \wedge p \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau \notin \check{K}\) から \(\tau_H \notin K\) となり矛盾である.

\(\mathbb{P}\) が分離的であることを仮定して(2)\(\rightarrow\)(3)を示す.各 \(\beta < \alpha\) に対して \(U_\beta\) を稠密開集合とする.\(A_\beta \subset U_\beta\) を \(\mathbb{P}\) の極大反鎖とする.\(\tau \in M^{\mathbb{P}}\) を\(\tau = \{ \langle \langle \beta , p \rangle\check{\phantom{x}} , p \rangle : \beta < \alpha \wedge p \in A_\beta \}\) で定義する.このとき,任意の \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(H\) に対して\(H \cap A_\beta = \{ \tau_H (\beta) \}\) かつ \(\tau_H \in M[H] : \alpha \longrightarrow \mathbb{P}\) である.\(p \in \mathbb{P}\) とする. \(q \leq p \wedge q \in \bigcap_{\beta < \alpha} U_\beta\) なる \(q\) が取れればよい.\(G \ni p\) なる \(M\) 上 \(\mathbb{P}\) ジェネリックフィルター \(G\) を取る.\(\tau_G \in {}^{\alpha} \mathbb{P} \cap M[G]\) であるので仮定により \(\tau_G \in {}^{\alpha} \mathbb{P} \cap M\) である.\(\tau_G =h \in M\) とする.定理3.6.(2)より,ある \(r \in G\) があって \(r \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau = \check{h}\) である.\(p,r \in G\) から \(q \leq p \wedge q \leq r\) なる \(q \in G\) を取る.\(q \in \bigcap_{\beta < \alpha} U_\beta\) を示す. \(\beta < \alpha\) とする. \(q \in U_\beta\) を示せばよい.今,\(\tau_G(\beta) = h(\beta) \in U_\beta\) であり,\(\neg \exists s \leq q( s \bot h(\beta) )\) である.(実際,\(s \leq q\) なる \(s\) に対して \(F \in s\) なる \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(F\) を取れば\(q \in F \wedge q \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau = \check{h}\) から \(\tau_F(\beta) = h(\beta) \in F\) であり,\(s , h(\beta) \in F\) から,\(s \bot h(\beta)\) となることはあり得ない.)\(\mathbb{P}\) が分離的であることから,その定義の対偶により \(q \leq h(\beta)\) である. \(U_\beta\) が開集合であり\(h(\beta) \in U_\beta\) であるから \(q \in U_\beta\) である.

最後のパラグラフに出てくる \(\langle \beta , p \rangle\check{\phantom{x}}\) というのは順序対 \(\langle \beta , p \rangle\) のチェック(☞定義2.10)です.こういうものを扱う必要に迫られることが時々あるのですが,実のところチェック記号はそういうときに見にくくて困るのです.

解答者: 田尻 翔平さん (公開日: 2012年6月13日)

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