第VII章 演習問題 [B7]

\(\gamma < \lambda^+\) で \(\{ p_\xi : \xi < \gamma \}\) が \(\mathbb{P}\) の降下列とする.\(q \in \mathbb{P}\) で \(\forall \xi < \gamma (q \leq p_\xi)\) となるものが取れればよい.\(\gamma < \lambda\) であれば \(\mathbb{P}\) が \(\lambda\)-閉であることから明らか.\(\lambda \leq \gamma < \lambda^+\) で \(\gamma\) が極限順序数であるときのみ考慮すれば十分である.\(\lambda\) が特異基数であるから \(\textrm{cf}(\gamma) < \lambda\) である.そこで, 狭義増加な共終写像 \(f : \textrm{cf}(\gamma) \longrightarrow \gamma \) がある.\(\mathbb{P}\) が \(\lambda\)-閉であることから \(\{\,p_{f(\xi)} : \xi < \textrm{cf}(\gamma)\,\}\) に対して \(q \in \mathbb{P}\) で \(\forall \xi < \textrm{cf}(\gamma) (q \leq p_{f(\xi)})\) となるものを取れる.この \(q\) が目的の元である.

 

解答者: 田尻 翔平さん (公開日: 2012年6月13日)

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