第VII章 演習問題 [C10]

\(\langle\, b_{n,\alpha}\,:\,\alpha<\kappa\,\rangle\) に対し, \(b_n=\bigvee_{\alpha<\kappa} b_{n,\alpha},\) \(b=\bigwedge_{n<\omega} b_n\) とおく. また, \(f\in {}^\omega\kappa\) に対し, \(b_f=\bigwedge_{n<\omega} b_{n,f(n)}\) とおく. 開集合 \(U_n\) が \(U_n=\bigcup \{\,N_{b_{n,\alpha}}\,:\,\alpha<\kappa\,\}\) 満たすとき, \(\bigvee_{\alpha<\kappa}b_{n,\alpha}=\bigvee U_n\) となっている. また \(c\in \bigcap_{n<\omega} U_n\) とすると, \(\forall n<\omega\exists \alpha<\kappa(c\leq b_{n,\alpha})\) より \(\exists f\in{}^\omega\kappa\forall n<\omega (c\leq b_{n,f(n)})\) となるので, \(\exists f\in{}^\omega\kappa (c\leq \bigwedge_{n<\omega} b_{n,f(n)})\) が成り立つ. よって \(\bigcap_{n<\omega} U_n=\bigcup\{\,N_{b_f}\,:\,f\in{}^\omega\kappa\,\}\) と表すことができ, \(\bigvee(\bigcap_{n<\omega}U_n)=\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}b_f\) が成立する.

\(\mathcal{B}\) が \((\omega,\infty)\)-分配的とする. \(\langle\,U_n\,:\,n<\omega\,\rangle\) を稠密な開集合の族とし, \(\langle\, b_{n,\alpha}\,:\,\alpha<\kappa\,\rangle\) を \(U_n=\bigcup \{\,N_{b_{n,\alpha}}\,:\,\alpha<\kappa\,\}\) となるように選んでおく. したがって, \(\bigvee_{\alpha<\kappa}b_{n,\alpha}=\bigvee U_n=\mathbf{l}\) が成立する. \(\bigvee(\bigcap_{n<\omega}U_n)=\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}b_f=\bigwedge_{n<\omega}\bigvee_{\alpha<\kappa}b_{n,\alpha}=\mathbf{l}\) であるから, \(\bigcap_{n<\omega}U_n\) は稠密な開集合となる.

逆に \(\mathcal{B}\) が \(\omega_1\)-ベールとする. まず \(\langle\, b_{n,\alpha}\,:\,\alpha<\kappa\,\rangle\) が \(\bigvee_{\alpha<\kappa}b_{n,\alpha}=\mathbf{l}\) を満たす場合を考える. \(U_n=\bigcup \{\,N_{b_{n,\alpha}}\,:\,\alpha<\kappa\,\}\) は稠密な開集合なので, \(\forall n<\omega (b_n=\mathbf{l}).\) また \(\omega_1\)-ベールの仮定より \(\bigcap_{n<\omega} U_n=\bigcup\{\,N_{b_f}\,:\,f\in{}^\omega\kappa\,\}\) は稠密な開集合となる. \(\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}b_f=\bigvee(\bigcap_{n<\omega}U_n)=\mathbf{l}=\bigwedge_{n<\omega} b_n\) となり, この場合は等式が成立する. 一般の場合は, \(b=\bigwedge_{n<\omega}b_n\) とし, \(c_{n,0}=b'\), \(c_{n,m+1}=b_{n,m}\) \((m<\omega)\), \(c_{n,\alpha}=b_{n,\alpha}(\omega\leq \alpha<\kappa)\) と定める. \(b'\lor b_n=\mathbf{l}\) であるから \(b'\lor\bigwedge_{n<\omega}b_n=\bigwedge_{n<\omega}(b'\lor b_n)=\bigwedge_{n<\omega}c_n=\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa} c_f\) が成立しているので, \(c_0=b'\) に注意すると, \(b=\bigwedge_{n<\omega}b_n=b\land\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}c_f=\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}(b\land c_f)=\bigvee_{f\in{}^\omega(\kappa\backslash\{0\})}(b\land c_f)=\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}(b\land b_f)=b\land\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}b_f.\) したがって, \(b\leq\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}b_f\) である. \(b\geq b_f\) は \(b_n\geq b_{n,f(n)}\) から容易に示すことができるので, \(b=\bigvee_{f\in{}^\omega\kappa}b_f\) が成り立つ.