第VII章 演習問題 [C11]

ススリン木 \(T\) が存在するとする.

\(T\) はよく刈りこまれた木で各 \(x\in T\) を根とする部分木は \(\omega_1\) 木であると仮定してよい. \(\mathcal{B}\) を \(T\) の正則開集合全体のなす完備ブール代数とする. \(T\) はよく刈りこまれた木なので, どの \(x\in T\) に対しても \(\mathrm{ht}(y,T)=\mathrm{ht}(z,T)=\mathrm{ht}(x',T)+1\) かつ \(x\leq x'\leq y,z \) となる \(x',y,z\) が存在する. \(N_y, N_z\) は異なる正則開集合となるので, \(\mathcal{B}\) にアトムは存在しない. \(T\) の開集合 \(U\) の極小元全体 \(A\) は \(T\) の反鎖であり, \(U=\{\,x\in T\,:\,\exists y\in A (y\leq x)\,\}\) が成立する. \(\langle b_i\,:\,i\in I\rangle\) が \(\mathcal{B}\) の反鎖のとき, \(A_i\) を \(b_i\) の極小元のなす反鎖とする. \(\bigcup\{\,A_i\,:\,i\in I\,\}\) も \(T\) の反鎖となる. \(T\) は c.c.c. を満たすので, \(I\) も可算集合でなければならない. したがって \(\mathcal{B}\) はc.c.c.をみたす.

\(V\) を \(T\) における開集合とする. \(x\in V\) に対し, \(x\leq y\) となる \(y\in V\) のうち \(\mathrm{ht}(y,T)\) が最小になるものがある. この \(y\) は \(V\) の極小元であるので, \(V\) の極小元全体の集合を \(A\) とすると, \(V=\{\,x\in T\,:\,\exists a\in A(x\leq a)\,\}\) となる. \(A\) は可算集合なので \(\forall a\in A (\mathrm{ht}(a,T)<\alpha)\) となる \(\alpha<\omega_1\) が存在する. さらに, \(V\) が稠密とすると, \(x\in V^c\) に対し, \(a\in A\) が存在し, \(x<a\) となる. このとき, \(\mathrm{ht}(x,T)<\mathrm{ht}(a,T)<\alpha\) なので, \(V^c\subset \bigcup\{\,\mathrm{Lev}_\beta(T)\,:\,\beta<\alpha\,\}.\) 右辺は可算集合なので \(V^c\) も可算集合となる. \(\langle U_n\,:\,n<\omega\rangle\) を \(\mathcal{B}\) の稠密な開集合の族とする. 各 \(U_n\) に対し, \(V_n=\bigcup U_n\) とおくと, \(V_n\) は \(T\) の稠密な開集合であるので, \(V_n^c\) は可算集合となる. したがって, 任意の \(x\in T\) に対し, \(y\in \bigcap_{n<\omega} V_n\) かつ \(y\leq x\) となる \(y\) が存在する. \(N_y\) は正則な開集合であると仮定してよく, \(\forall n<\omega(N_y\in U_n)\) かつ \(N_y\subset N_x\) であるから, \(\bigcap\{\,U_n\,:\,n<\omega\,\}\) は稠密な開集合となる. したがって \(\mathcal{B}\) は \(\omega_1\)-ベールであり, 前問の結果により \((\omega,\infty)\)-分配的でもある.

逆に, アトムをもたずc.c.c.をみたし \((\omega,\infty)\)-分配的な完備ブール代数 \(\mathcal{B}\) が与えられたとする. このとき木 \(T\subset \mathcal{B}\) を次のように定義するとき, \(T\) がススリン木となることを示す.

\(T\) の反鎖は \(\mathcal{B}\) の反鎖であるから高々可算.

\(C=\langle\, b_\beta\,:\,\beta<\alpha\,\rangle\) が \(T\) の鎖ならば, \(b_\beta< a_\beta, b_{\beta+1}\perp a_\beta\) となる \(a_\beta\in T\) が存在し, \(\langle\, a_\beta\,:\,\beta<\alpha\,\rangle \) は反鎖となるので, \(\alpha\) も可算である.

\(\mathrm{ht}(T)=\alpha<\omega_1\) のとき, \(\langle\, \alpha_n\,:\,n<\omega\,\rangle\) を \(\sup_{n<\omega}\alpha_n=\alpha\) となるようにとる. 各 \(\mathrm{Lev}_{\alpha_n}(T)\) は \(\mathcal{B}\) の極大な反鎖なので, \((\omega,\infty)\)-分配的であることにより, \(b_n\in \mathrm{Lev}_{\alpha_n}(T)\) で \(\bigwedge_{n<\omega} b_n\neq 0\) となるものが存在するが, これは \(\mathrm{Lev}_\alpha(T)=0\) と矛盾する. したがって \(T\) は \(\omega_1\)-木である.

 

解答者: 志村さん (公開日: 2011年7月11日)

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