(前半) \(\mathbb{Q}\)がアトム \(q\) を持つとして矛盾を導く. \(q\) の \(\mathbb{P}\)への縮約を \(p\) とする. \(p',p''\leq p\) のとき, \(i(p'),i(p'')\) ははともに \(q\)と両立するので, \(q'\leq i(p'),q\) と\(q''\leq i(p''),q\) を満たす \(q', q''\) が存在する. \(q\) はアトムなので, \(q', q''\) は両立し, したがって \(i(p'),i(p'')\) も両立する. \(i\) は完備なので \(p', p''\) は両立するので, \(p\) はアトムでなければならない.
(後半) \(i(\mathbb{P})\) が稠密で \(p\in\mathbb{P}\) がアトムとする. このとき, \(q,r\leq i(p)\) とすると, \(i(p')\leq q,\) \(i(p'')\leq r\)を満たす \(p', p''\) が存在する. \(i(p'),i(p'') \leq i(p)\) より\(p',p'' \leq p\) となり, \(p',p''\) は両立する. したがって, \(i(p'),i(p'') \) も両立するので, \(q,r\) も両立する. よって \(i(p)\) もアトムとなる.