\(\mathbb{P}\) において \(a\perp b \leftrightarrow a\land b=\mathbb{0}\) である. 任意の \(a\) について, \(\mathbb{P}\) のアトムでないことと, \(\mathcal{B}\) のアトムでないことが同値であることを示せば十分である.
\(a\) が \(\mathbb{P}\) のアトムでない. \(b,c\leq a \) かつ \(b\land c\neq\mathbb{0}\) であるが, このとき, \(\mathbb{0}< b< a\) なので \(a\) は \(\mathcal{B}\) のアトムでもない.
逆に, \(\mathbb{0}< b< a\) となる \(b\) が存在したとする. このとき, \(c=a\land b'\) とおくと, \(c\land b=\mathbb{0}\neq a\land b\) かつ \(c\lor b=a\neq \mathbb{0}\lor b\) なので, \(b,c\in\mathbb{P},\) \(b,c< a\), \(b\perp c\) となり, \(a\) は \(\mathbb{P}\) のアトムでもない.
ブール束 \(\mathcal{B}\) において \(a\leq b\) のとき, \([a,b]=\{c\in\mathcal{B}\ |\ a\leq c\leq b\}\) は \(\mathcal{B}\) の部分分配束となるが, 後半の証明に少し手を加えれば, さらにブール束でもあることがわかる.