まず, 各 \(n \in \omega\) に対して有限部分ブール代数 \(A_n \subset \mathcal{A}\), \(B_n \subset \mathcal{B}\) とその間のブール同型写像 \(f_n : A_n \longrightarrow B_n\) 帰納法を用いて作る.
\(A_0=\{0_\mathcal{A}, 1_\mathcal{A} \}\), \(B_0=\{0_\mathcal{B}, 1_\mathcal{B} \}\), \(f_0 = \{ \langle 0_\mathcal{A}, 0_\mathcal{B}, \rangle, \langle 1_\mathcal{A}, 1_\mathcal{B}, \rangle \}\) と定義する. \(\mathcal{A} = \{ a_m : m \in \omega \}\), \(\mathcal{B} = \{ b_m : m \in \omega \}\) とする.
\(n \in \omega\) とする. \(A_n\), \(B_n\), \(f_n\) が既に得られているとして, \(A_{n+1}\), \(B_{n+1}\), \(f_{n+1}\) を構成する:
\(n\) が偶数であるとする. \(m \in \omega\) を \(n=2m\) なるものとする. \(a_m \in A_n\) であるとき, \(A_{n+1}=A_n\), \(B_{n+1}=B_n\), \(f_{n+1}=f_n\) と定める. \(a_m \notin A_n\) であるとする.
\(A_n\) のアトムが \(k\) 個であるとして, \(A_n\) のアトムを \(\{c_i : i < k\}\) と並べる. このとき, \(\bigvee \{c_i : i < k\}=1_\mathcal{A}\) である.
\(\mathcal{B}\) にアトムがないことから, \(0_\mathcal{A} < (a_m \wedge c_\ell) < c_\ell\) なるそれぞれの \(\ell\) について, \(0_\mathcal{B} < q_\ell < f_n(c_\ell)\) なる元 \(q_\ell \in \mathcal{B}\) をとり \(g_{n+1}(a_m \wedge c_\ell) = q_\ell\), \(g_{n+1}(a_m' \wedge c_\ell) = g_{n+1}(a_m \wedge c_\ell)' \wedge f_{n}(c_\ell)\) と定める.
各 \(c_i\) について \(g_{n+1}(c_i)=f_n(c_i)\) と定める.
\(P_{n+1}=\{ (a_m \wedge c_i), (a_m' \wedge c_i) : 0_\mathcal{A} < (a_m \wedge c_i) < c_i \} \cup \{ c_i : \neg( 0_\mathcal{A} < (a_m \wedge c_i) < c_i) \}\) と定める. \(P_{n+1}\) は \(\mathcal{A}\) の極大反鎖である. \(A_{n+1}\) を \(P_{n+1}\) によって生成されるブール代数とする. \(P_{n+1}\) は \(A_{n+1}\) のアトム全体の集合であり, \(P_{n+1}\) の上では \(g_{n+1}\) が定義されている. \(g_{n+1}''P_{n+1}\) は \(\mathcal{B}\) の極大反鎖である. \(B_{n+1}\) を \(g_{n+1}''P_{n+1}\) によって生成されるブール代数とする.
次のとおりに定めることで, \(f_{n+1}\) を定義する: \(a \in A_{n+1}\) が \(A_{n+1}\) のいくつかのアトム \(d_0, \ldots, d_t\) によって \(a = d_0 \vee \ldots \vee d_t\) と表されているならば, \(f_{n+1}(a)=g_{n+1}(d_0) \vee \ldots \vee g_{n+1}(d_t)\) と定義する. また, \(f_{n+1}(0_\mathcal{A})=0_\mathcal{B}\) と定義する.
ここで, \(f_{n+1}\) は \(A_{n+1}\) から \(B_{n+1}\) へのブール同型写像であり, \(f_n \subset f_{n+1}\) となっている.
\(a_m \in A_{n+1}\) を示す. \(a_m = a_m \wedge 1_\mathcal{A} =a_m \wedge \bigvee \{c_i : i < k\} = \bigvee_{i<k}(a_m \wedge c_i)\) であり, 全ての \(i<k\) について \((a_m \wedge c_i) \in A_{n+1}\) である( \(( 0_\mathcal{A} < (a_m \wedge c_i) < c_i)\) でない \(i\) については \((a_m \wedge c_i) \in \{ 0_\mathcal{A}, c_i\} \subset A_{n+1}\) である)ので, \(a_m \in A_{n+1}\) である.
\(n\) が奇数であるとする. \(m \in \omega\) を \(n=2m+1\) なるものとする. \(b_m \in B_n\) であるとき, \(A_{n+1}=A_n\), \(B_{n+1}=B_n\), \(f_{n+1}=f_n\) と定める. \(b_m \notin B_n\) であるとする. このときは先ほどと同様のことを, \(A_n\) と \(B_n\) の立場を入れ替えて, \(f_n\) の代わりに \(f_n^{-1}\) を用いて行う.
\(f = \bigcup_{n \in \omega} f_n\) が \(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{B}\) へのブール同型写像であることを証明する.
\(f\) が単射であることを証明する. \(a,b \in \mathcal{A}\) を任意にとる. \(f(a)=f(b)\) とする. \(n \in \omega\) を十分大きくとって \(a,b \in A_n\) なるようにする. \(f_n(a)=f_n(b)\) であり, \(f_n\) の単射性から \(a=b\) である.
\(f\) が全射であることを証明する. \(b \in \mathcal{B}\) を任意にとる. \(n \in \omega\) を十分大きくとって \(b \in B_n\) なるようにする. \(f_n\) の全射性から \(b=f_n(a)=f(a)\) なる \(a \in A_n \subset \mathcal{A}\) をとれる.
\(a,b \in \mathcal{A}\) とする. \(a \leq b\) と \(f(a) \leq f(b)\) が同値であることを示す. \(n \in \omega\) を十分大きくとって \(a,b \in A_n\) なるようにする. \(f_n\) がブール同型写像なので, \(a \leq b\) と \(f_n(a) \leq f_n(b)\) は同値であり, \(f_n \subset f\) であるので \(f(a)=f_n(a)\), \(f(b)=f_n(b)\) である.
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