\(p\) が \(q\) の \(\mathbb{P}\) への縮約であるとする．\(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q} \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\) を示す．\(p \in G\) なる \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(G\) を任意に取る．\(q \in \mathbb{Q}/G\) であることを示せばよい．\(r \in G\) を任意に取る．\(p,r \in G\) であるから，\(p' \leq p \wedge p' \leq r\) なる \(p' \in G\) を取る．\(p\) が \(q\) の \(\mathbb{P}\) への縮約であるので，\(i(p')\) と \(q\) は \(\mathbb{Q}\) において両立する．\(i\) が完備埋め込みであるから，\(i(p') \leq i(r)\) であり，\(q\) と \(i(r)\) は両立する．よって \(q \in \mathbb{Q}/G\) である．
\(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q} \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\) とする．\(p\) が \(q\) の \(\mathbb{P}\) への縮約であることを示す．\(p' \leq p\) なる \(p' \in \mathbb{P}\) を任意に取る．\(\mathbb{Q}\) において \(q\) と \(i(p')\) が両立することを示せばよい．\(p' \in G\) なる \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(G\) を任意に取る．\(p' \leq p\) なので，\(q \in \mathbb{Q}/G\) である．今，\(p' \in G\) であるから \(\mathbb{Q}\) において \(q\) は \(i(p')\) と両立する．よって，\(p\) は \(q\) の \(\mathbb{P}\) への縮約である．