第VII章 演習問題 [D4]

まず, 補題を3つ証明する.

(補題1) \(D \in M\)が\(\mathbb{Q}\)の稠密部分集合であり, \(p_0 \in \mathbb{P}\)と\(q_0 \in \mathbb{Q}\)が\(p_0 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_0 \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\)を満たすものであるとする. このとき, \[ \{p \in \mathbb{P} : \exists q \in \mathbb{Q}( q \leq q_0 \wedge q \in D \wedge p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q} \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma )\} \] が\(p_0\)以下で稠密である.

(証明) : \(p_1 \leq p_0\)を任意にとる. \(p_1 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_0 \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\)であるので, [D3]の結果により\(p_1\)は\(q_0\)の\(\mathbb{P}\)への縮約である. \(q_1 \leq i(p_1)\)かつ\(q_1 \leq q_0\)となる\(q_1 \in \mathbb{Q}\)をとる. \(D \subset \mathbb{Q}\)が稠密部分集合であるので\(q_2 \leq q_1\)となる\(q_2 \in D\)をとる. \(q_2\)の\(\mathbb{P}\)への縮約を一つとり, それを\(p_2 \in \mathbb{P}\)とする. \(q_3 \leq i(p_2)\)かつ\(q_3 \leq q_2\)となる\(q_3 \in \mathbb{Q}\)をとる. \(q_3 \leq i(p_1)\)かつ\(q_3 \leq i(p_2)\)であるので, \(p_1\)と\(p_2\)は両立する. \(p_3 \leq p_1\)かつ\(p_3 \leq p_2\)なる\(p_3 \in \mathbb{P}\)をとる. \(p_3 \leq p_2\)より, \(p_3\)は\(q_2\)の\(\mathbb{P}\)への縮約であるので, \(p_3 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_2 \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\)である. 以上より, \(p_3 \leq p_0\)かつ\(q_2 \leq q_0 \wedge q_2 \in D \wedge p_3 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_2 \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\)が成り立つ.

(補題2) \(D \in M\)が\(\mathbb{Q}\)の稠密部分集合であるとき, \(D \cap \mathbb{Q}/G\)は\(\mathbb{Q}/G\)の稠密部分集合である.

(証明) : \(D \in M\)を\(\mathbb{Q}\)の稠密部分集合とする. \(q_0 \in \mathbb{Q}/G\)を任意にとる. \(p_0 \in G\)を, \(p_0 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_0 \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\)を満たすものとする. (補題1)と補題2.20(b)により, \(p \in G\)と\(q \in \mathbb{Q}\)を\(q \leq q_0 \wedge q \in D \wedge p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q} \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\)なるものとする. \(p \in G\)であるから\(q \in \mathbb{Q}/G\)である. 以上より, \(q \leq q_0\)かつ\(q \in D \cap \mathbb{Q}/G\)である.

(補題3) \(G = i^{-1}(K)\)である.

(証明) : \(G \supset i^{-1}(K)\)を示す. \(p \in \mathbb{P}\)を\(i(p) \in K\)なるものとする. \(i(p) \in \mathbb{Q}/G\)であるので, \(\forall p' \in G(i(p) \text{は} i(p') \text{と両立する})\)が成り立つ. よって, \(\forall p' \in G(p \text{は} p' \text{と両立する})\)も成り立つ. \(D_p = \{r \in \mathbb{P} : r \perp p \vee r \leq p\} \subset \mathbb{P}\)は稠密集合なので, \(r \in D_p \cap G\)をとる. \(r\)と\(p\)は両立するので, \(r \leq p\)である. \(r \in G\)より\(p \in G\)である.

\(G \subset i^{-1}(K)\)を示す. \(p \in G\)とする. \(i(p)\)は\(\mathbb{Q}/G\)の全ての元と両立する. [A12](c)により, \(\{i(p)\} \cap K \neq \emptyset\)である. よって, \(i(p) \in K\)である.

本題の証明に入る.

\(K\)が\(M\)上\(\mathbb{Q}\)-ジェネリックフィルターあることを示す. \(K\)が\(\mathbb{Q}\)のフィルターであることは, \(K\)が\(\mathbb{Q}/G\)のフィルターであることと\[\forall s \in \mathbb{Q} \Bigl(\bigl(\exists q \in \mathbb{Q}/G (q \leq s)\bigr) \rightarrow s \in \mathbb{Q}/G \Bigr)\] が成り立つことから分かる.

\(\mathbb{Q}\)の稠密部分集合\(D \in M\)を任意にとる. 補題により, \(D \cap \mathbb{Q}/G \in M[G]\)は\(\mathbb{Q}/G\)の稠密部分集合であるから, \(D \cap K \supset (D \cap \mathbb{Q}/G) \cap K \neq \emptyset\)である.

\(M[K]=M[G][K]\)を示す. \(M \subset M[G][K]\)かつ\(K \in M[G][K]\)であるので, 補題2.9により\(M[K] \subset M[G][K]\)である. (補題3)と定理7.5により, \(M[G] = M[i^{-1}(K)] \subset M[K]\)である. \(K \in M[K]\)であるので, 補題2.9により\(M[G][K] \subset M[K]\)である.