第VII章 演習問題 [D5]

(注意) 定理7.5により \(G\) は \(M\) 上 \(\mathbb{P}\) -ジェネリックである.

まず, 補題を証明する.

(補題) \(p_0 \in \mathbb{P}\) と \(\tau \in M^\mathbb{P}\) が \(p_0 \,{\|\kern-0.40em-}\, (\tau \text{ は } \check{\mathbb{Q}}/\varGamma \text{ において稠密})\) を満たすものであるとする. このとき, \[ \{q \in \mathbb{Q} : \exists p \in \mathbb{P} \exists q_1 \in \mathbb{Q} \bigl((p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_1 \in \tau) \wedge q \leq i(p) \wedge q \leq q_1 \bigr)\} \] が \(i(p_0)\) 以下で稠密である.

(証明) : \(q_0 \leq i(p_0)\) を任意にとる. \(q_0\) の \(\mathbb{P}\) への縮約を一つとり, それを \(p_1 \in \mathbb{P}\) とする. \(q_1 \leq i(p_1)\) かつ \(q_1 \leq q_0\) なる \(q_1 \in \mathbb{Q}\) をとる. \(i(p_0)\) と \(i(p_1)\) は両立するので, \(p_0\) と \(p_1\) も両立する. \(p_2 \in \mathbb{P}\) を \(p_2 \leq p_1\) かつ \(p_2 \leq p_0\) なるものとする. \(p_2 \leq p_1\) から \(p_2\) は \(q_0\) の \(\mathbb{P}\) への縮約である. \(p_2 \,{\|\kern-0.40em-}\, (\tau \text{ は } \check{\mathbb{Q}}/\varGamma \text{ において稠密} \wedge \check{q}_0 \in \check{\mathbb{Q}}/\varGamma)\) であるので極大原理により, \(\tau_1 \in M^{\mathbb{P}}\) を \(p_2 \,{\|\kern-0.40em-}\, (\tau_1 \leq \check{q}_0 \wedge \tau_1 \in \tau)\) なるものとする. また \(p_2 \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau_1 \in \check{\mathbb{Q}}\) であるので系3.7(d)により \(p_3 \leq p_2\) と \(q_1 \in \mathbb{Q}\) を \(p_3 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_1=\tau_1\) なるものとする. \(p_3 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_1 \in \tau \subset \check{\mathbb{Q}}/\varGamma\) であるので, [D3]の結果により \(p_3\) は \(q_1\) の \(\mathbb{P}\) への縮約である. \(q_2 \in \mathbb{Q}\) を \(q_2 \leq q_1\) かつ \(q_2 \leq i(p_3)\) なるものとする. 以上より, \(q_2 \leq q_0\) かつ \((p_3 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_1 \in \tau) \wedge q_2 \leq i(p_3) \wedge q_2 \leq q_1\) が成り立つ.

本題を証明する.

\(H \subset \mathbb{Q}/G\) を示す. \(q \in H\) とする. \(p \in G\) を任意にとる. \(i(p) \in H\) であるので \(q\) と \(i(p)\) は両立する. よって \(q \in \mathbb{Q}/G\) である.

\(H\) が \(M[G]\) 上 \(\mathbb{Q}/G\) -ジェネリックフィルターであることを示す. \(H\) が \(\mathbb{Q}/G\) のフィルターであることは \(H \subset \mathbb{Q}/G\) から明らかである.

\(D \in M[G]\) を \(\mathbb{Q}/G\) の稠密部分集合とする. \(\tau \in M^\mathbb{P}\) を \(D=\tau_G\) なるものとする. \(p_0 \in G\) を \(p_0 \,{\|\kern-0.40em-}\, (\tau \text{ は } \check{\mathbb{Q}}/\varGamma \text{ において稠密})\) を満たすものであるとする. \(i(p_0) \in H\) であるから, 補題2.20(b)と先ほど示した補題により \(H \cap \{q \in \mathbb{Q} : \exists p \in \mathbb{P} \exists q_1 \in \mathbb{Q} \bigl((p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_1 \in \tau) \wedge q \leq i(p) \wedge q \leq q_1 \bigr)\} \neq \emptyset\) である. \(q \in H\) , \(p \in \mathbb{P}\) , \(q_1 \in \mathbb{Q}\) を \((p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{q}_1 \in \tau) \wedge q \leq i(p) \wedge q \leq q_1\) なるものとする. \(q \in H\) から \(q_1, i(p) \in H\) である. \(p \in G\) であるので \(q_1 \in \tau_G = D\) である. \(q_1 \in H \cap D\) より, \(H \cap D \neq \emptyset\) である.

\(M[H]=M[G][H]\) であることは[D4]で \(M[K]=M[G][K]\) を証明したのと全く同様に示される.