まず，補題を用意する．
(補題) : \(\mathbb{P} \in M\) とする．\(p,q \in \mathbb{P}\) に対して \(D_{pq}=\{ r \in \mathbb{P} : (r \leq p\) かつ \(r \leq q)\) または \(r \bot p \) または \(r \bot q \}\) と定める．このとき，\(D_{pq} \in M\) であり，\(D_{pq}\) は \(\mathbb{P}\) の稠密部分集合である．
(証明) : \(D_{pq} \in M\) は明らかである．\(D_{pq}\) が \(\mathbb{P}\) の稠密部分集合であることを示せばよい．\(r \in \mathbb{P}\) を任意にとる．\(r \notin D_{pq}\) とする．\(r\) と \(p\) が両立するので，\(r_1 \leq r\) かつ \(r_1 \leq p\) なる \(r_1\) をとる．もし，\(r_1 \bot q\) であれば，\(r_1 \leq r\) かつ \(r_1 \in D_{pq}\) が成り立つ．\(r_1\) と \(q\) が両立する場合は，\(r_2 \leq r_1 \leq p\) かつ \(r_2 \leq q\) なる \(r_2\) がとれて，\(r_2 \leq r\) かつ \(r_2 \in D_{pq}\) が成り立つ．よって，\(D_{pq}\) は \(\mathbb{P}\) の稠密部分集合である．
本題の証明に入る．
\(i(p)=i(q)\) とする．\(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(G\) を任意にとる．\(p \in G \rightarrow q \in G\) を示す．\(p \in G\) とする．\( q \in G\) を示せばよい．\(r \in G \cap D_{pq}\) なる \(r\) が存在するのでそれをとる．\(r \in D_{pq}\) であるので，\(( r \bot p \) または \(r \bot q\) または \(( r \leq p \) かつ \(r \leq q ))\) である．まず \(r,p \in G\) だから \(r \bot p\) は成り立たない．また，\(r \bot q\) が成り立つと仮定すると，\(i\) の性質から \(i(r) \bot i(q)\) であり，仮定から \(i(r) \bot i(p)\) であるが，このとき \(r \bot p\) となってしまい矛盾である．よって，\(r \bot q\) も成り立たない．なので，\(r \leq p\) かつ \(r \leq q\) である．\(r \in G\) から，\(q \in G\) である．
\(p\) と \(q\) は対称なので，\(p \in G \leftarrow q \in G\) も同様に成り立つ．よって，\(p \in G \leftrightarrow q \in G\) である．
\(i(p) \neq i(q)\) とする．\(i(p) \nleq i(q) \) または \(i(q) \nleq i(p)\) である．\(p\) と \(q\) は対称なので，\(i(p) \nleq i(q)\) と仮定してよい．このとき，\(i(p) \wedge (i(q))' >0\) である．\(i''\mathbb{P}\) が \(\mathcal{B}\setminus \{0\}\) の中で稠密なので，\(r \in \mathbb{P}\) を \( i(r) \leq i(p) \wedge (i(q))' \) なるようにとる．このとき，\(i(r) \leq i(p)\) かつ \(i(r) \bot i(q)\) である．すなわち，\(r\) と \(p\) は両立し，かつ \(r \bot q\) である．\(s \leq r\) かつ \(s \leq p\) なる \(s\) をとる．このとき，\(s \in G\) なる \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(G\) をとると，\(p \in G\) かつ \(q \notin G\) である．よって，\(p \in G \leftrightarrow q \in G\) は成り立たない．
よって，「\(i(p)=i(q)\) であること」と，「すべての \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(G\) が \(p \in G \leftrightarrow q \in G\) を満たすこと」は同値である．