第VII章 演習問題 [E1]

ある \(p \in \mathbb{P}\) に対して \(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \phi({\check x}_1,\ldots,{\check x}_n)\) であるとする．ここで，\(1 \,{\|\kern-0.40em-}\, \phi({\check x}_1,\ldots,{\check x}_n)\) でないとする．\(q \,{\|\kern-0.40em-}\, \neg \phi({\check x}_1,\ldots,{\check x}_n)\) なる \(q \in \mathbb{P}\) をとる．\(i(p)\) と \(q\) が両立する自己同型写像 \(i\) を取る．\(i\) は \(\mathbb{P}\) から \(\mathbb{P}\) への稠密埋め込み写像であるので，補題7.13.(c)により，\(i(p) \,{\|\kern-0.40em-}\, \phi({\check x}_1,\ldots,{\check x}_n)\) である．\(i(p)\) と \(q\) は両立するので，\(r \leq i(p) \wedge r \leq q\) なる \(r \in \mathbb{P}\) を取る．今，\(r \,{\|\kern-0.40em-}\, (\phi({\check x}_1,\ldots,{\check x}_n) \wedge \neg \phi({\check x}_1,\ldots,{\check x}_n))\) であり，これは矛盾．よって，\(1 \,{\|\kern-0.40em-}\, \phi({\check x}_1,\ldots,{\check x}_n)\) である．