\(\textrm{c.c.}(\mathbb{P}) = \omega\) であると仮定する．すなわち \(\mathbb{P}\) は可算な反鎖はもたないが、任意の自然数 \(n\) について，濃度 \(n\) の反鎖をもつものとする．
まず，\(\mathbb{P}\) はアトムをもつ．もしもたなければ，可算な反鎖を帰納法により，容易に得ることができる．(具体的には，任意の元 \(y\) を取り，\(y\) がアトムでないことから，\(x_0 \leq y \wedge y_0 \leq y\) なる互いに両立しない元 \(x_0 , y_0\) を取り，同様に \(n \in \omega\) に対して \(x_n , y_n\) が与えられているときには，\(x_{n+1} \leq y_n \wedge y_{n+1} \leq y_n\) なる互いに両立しない元 \(x_{n+1} , y_{n+1}\) を取る．このとき \(\{ x_n : n \in \omega \}\) が可算な反鎖である．)
\(\mathbb{P}_\alpha = \{ p \in \mathbb{P} : p\) は\(\mathbb{P}\) のアトム \(\}\) とおく．\(\mathbb{P}\) の反鎖 \(A\) を \(\mathbb{P}_\alpha\) の部分集合であるうちで極大なものとして一つ取る．\(|A|=m \in \omega\) とする．
このとき，\(A\) は \(\mathbb{P}\) の極大反鎖ではない．( 極大反鎖であったと仮定する．\(\mathbb{P}\) は濃度 \(m+1\) の反鎖をもつのでその一つを \(B\) とする，部屋割り論法により，\(B\) のある \(2\) 元 \(b_1 , b_2\) が \(A\) のある元 \(a\) とそれぞれ両立する．すなわち，\(r_1 \leq b_1 \wedge r_1 \leq a \wedge r_2 \leq b_2 \wedge r_2 \leq a\) である \(r_1 , r_2\) が存在する．ここで，\(a\) がアトムなので，\(r_1 , r_2\) は両立し，\(b_1 , b_2\) も両立する．これは \(B\) が反鎖であったことに反する．)
アトムでない元 \(y\) で \(A \cup \{ y \}\) が \(\mathbb{P}\) の反鎖であるものをとる．\(y\) がアトムでないことから，\(x_0 \leq y \wedge y_0 \leq y\) なる互いに両立しない元 \(x_0 , y_0\) を取る．このとき，\(y_0\) はアトムでない．(もしアトムであれば，\(y_0\) は \(A\) のある元 \(a\) と両立し，\(y\) と \(a\) が両立することになって \(A \cup \{ y \}\) が反鎖であることに矛盾する．)
同様に \(n \in \omega\) に対して \(x_n\) とアトムでない \(y_n\) が与えられているときに，\(x_{n+1} \leq y_n \wedge y_{n+1} \leq y_n\) なる互いに両立しない元 \(x_{n+1} , y_{n+1}\) を取る．このとき，\(y_{n+1}\) もアトムでないことは \(y_0\) に対して示したのと同様に確かめられる．
このとき \(\{ x_n : n \in \omega \}\) が \(\mathbb{P}\) の可算な反鎖である．これは矛盾である．よって，\(\textrm{c.c.}(\mathbb{P}) \neq \omega\) である．
問題文訂正 : \(\textrm{c.c.}(\mathbb{P})\) の定義が，「 \(\mathbb{P}\) が \(\theta\)-c.c.をもたない最小の基数 \(\theta\)」となっていますが，「 \(\mathbb{P}\) が \(\theta\)-c.c.を『もつような』最小の基数 \(\theta\)」が正しいようです．