\(\mathbb{P} \in M\) とする．\(\operatorname{c.c.}(\mathbb{P})<\omega \rightarrow ( \operatorname{c.c.} (\mathbb{P})<\omega )^M\) は \(\omega\) 以下の基数が絶対的であることと，\(\mathbb{P}\) の反鎖という概念が \(M\) に対して絶対的であることから，明らかである．よって，\(( \operatorname{c.c.} (\mathbb{P})<\omega )^M \rightarrow \operatorname{c.c.}(\mathbb{P})<\omega\) を示せばよい．
まず，\(\mathbb{P}\) の有限部分集合は全て \(M\) に属する．これは，\(\mathbb{P}\) の要素がすべて \(M\) に属することと，\(M\) がZFCのモデルであることから明らかである．
\(( \operatorname{c.c.} (\mathbb{P})<\omega )^M\) でありながら \(\operatorname{c.c.}(\mathbb{P}) \geq \omega\) であったと仮定し，\(( \operatorname{c.c.} (\mathbb{P}) = n+1 )^M\) である \(n \in \omega\) をとる．\(\operatorname{c.c.}(\mathbb{P}) \geq \omega\) から濃度 \(n+1\) の反鎖を得ることができるが，これは \(M\) に属しており，矛盾である．
編集者がすこし表現を改めた箇所があります．