第VII章 演習問題 [F4]

(定義) : \(p \in \mathbb{P}\) に対して, \(p \downarrow = \{ q \in \mathbb{P} : q \leq p \}\) , \(\alpha(p)=\sup\{ |A|:A \subset p\downarrow \text{かつ} A \text{は反鎖} \}\) と定める.

\(\kappa=\operatorname{c.c.}(\mathbb{P}) \geq \omega\) とする. \(\lambda = \operatorname{cf}(\kappa) < \kappa\) と仮定する. \(\kappa=\operatorname{c.c.}(\mathbb{P})\) より, 各 \(p \in \mathbb{P}\) に対して \(\alpha(p) \leq \kappa\) である.

(補題1) : \(D=\{p \in \mathbb{P}:\alpha(p)<\kappa \}\) は \(\mathbb{P}\) の稠密部分集合である.

(証明) : \(D\) が稠密でないとする. すなわち, \(p \in \mathbb{P}\) があって \(\forall q \leq p(\alpha(q)=\kappa)\) とする. \(\alpha(p)=\kappa\) から, 濃度 \(\lambda\) の反鎖 \(C=\{ q_\xi : \xi<\lambda \} \subset p\downarrow\) が存在する. \(\operatorname{cf}(\kappa)=\lambda\) から, 基数の狭義増加列 \(\langle \eta_\xi : \xi<\lambda \rangle\) を \(\kappa\) 内で非有界なものとする. \(\forall \xi<\lambda(\alpha(q_\xi)=\kappa)\) であるから, 各 \(\xi<\lambda\) について濃度 \(\eta_\xi\) の反鎖 \(C_\xi \subset q_\xi\downarrow\) をとる. このとき, \(\bigcup_{\xi<\lambda}C_\xi\) は濃度 \(\kappa\) の反鎖であるから, \(\kappa=\operatorname{c.c.}(\mathbb{P})\) に反する.

\(D\) の中で極大な反鎖 \(X\) をとる. \(D\) が \(\mathbb{P}\) の稠密部分集合なので, \(X\) は \(\mathbb{P}\) の極大反鎖である. \(\kappa=\operatorname{c.c.}(\mathbb{P})\) から, \(|X|<\kappa\) である.

(補題2) : 基数 \(\mu\) を, \(|X|<\mu<\kappa\) を満たすものとする. このとき, ある \(p \in X\) について \(\kappa > \alpha(p) \geq \mu\) である.

(証明) : \(\kappa=\operatorname{c.c.}(\mathbb{P})\) から, 濃度 \(\mu\) の反鎖 \(C\) をとる. \(X\) が極大な反鎖なので, \(C\) の元はどれも \(X\) のある元と両立する. \(|X|<\mu\) であるから部屋割り論法により, \(p \in X\) と濃度 \(\mu\) の反鎖 \( C_p = \{ c_\xi : \xi < \mu \} \subset C\) を \(\forall \xi < \mu (p \text{と} c_\xi \text{は両立する})\) となるようにとる.

各 \(\xi < \mu\) に対して, \(r_\xi \leq c_\xi\) かつ \(r_\xi \leq p\) なる \(r_\xi\) をとる. \(C_p\) が反鎖であるから, \(\{r_\xi : \xi < \mu \}\) は \(p\downarrow\) の中の濃度 \(\mu\) の反鎖である. すなわち \(\alpha(p)\geq \mu\) である. \(\kappa > \alpha(p)\) は \(p \in D\) から明らかである.

\(\kappa\) が特異基数であるから, \(|X|<\mu<\kappa\) を満たす基数 \(\mu\) は \(\kappa\) の中で非有界に存在する. そこで, (補題2)により \(\sup\{ \alpha(p) : p\in X \}=\kappa\) である. \(\forall p \in X (\alpha(p) < \kappa)\) と \(cf(\kappa)=\lambda\) から \(|X| \geq \lambda\) である. \(\{ x_\xi \in X : \xi < \lambda \}\) を, \(\langle \alpha(x_\xi) : \xi < \lambda \rangle\) が \(\kappa\) の中で非有界な狭義増加列となるようにとる. 各 \(\xi < \lambda\) について \(\alpha(x_{\xi+1})>\alpha(x_\xi)\) なので, 反鎖 \(C_{\xi+1} \subset x_{\xi+1}\downarrow\) を, \(|C_{\xi+1}| \geq \alpha(x_\xi)\) なるようにとる. このとき, \(\bigcup_{\xi < \lambda} C_{\xi+1}\) は濃度 \(\kappa\) の反鎖であり, \(\kappa=\operatorname{c.c.}(\mathbb{P})\) に反する. よって \(\kappa\) は特異基数ではありえない.