まず, \(\operatorname{Fn}(I,J,\lambda)\) は \(\operatorname{Fn}(|I|,|J|,\lambda)\) に同型であり, \(\operatorname{Fn}(\lambda,2,\lambda)\) から \(\operatorname{Fn}(|I|,|J|,\lambda)\) への恒等写像は反鎖を保存する. このことから, \(\operatorname{Fn}(\lambda,2,\lambda)\) にサイズ \(2^{<\lambda}\) の反鎖が存在することを示せばよい.
(定義) : 順序数 \(\alpha\) について, \(0\) のみからなる長さ \(\alpha\) の列を \(0_\alpha\) で表す.
(1) \(\lambda=\omega\) の場合.
\(\operatorname{Fn}(\lambda,2,\lambda)=\operatorname{Fn}(\omega,2)\) かつ, \(2^{<\lambda}=\omega\) である. 末尾が \(1\) でありそれ以外が0であるような有限二進列全体( \(\{1, 01, 001, 0001, 00001, \ldots\}\) )は \(\operatorname{Fn}(\omega,2)\) のサイズ \(\omega\) の反鎖である.
(2) \(\lambda>\omega\) の場合.
\(\omega \leq \kappa<\lambda\) なる各基数 \(\kappa\) について, \(A_\kappa = \{ {0_\kappa}^\frown s : s \in 2^\kappa \setminus \{0_\kappa\} \}\) と定める. 各 \(A_\kappa\) はサイズ \(2^\kappa\) の反鎖であり, このとき, \(\bigcup \{ A_\kappa : \omega \leq \kappa < \lambda \}\) は \(\operatorname{Fn}(\lambda,2,\lambda)\) のサイズ \(2^{<\lambda}\) の反鎖である.
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