\(\mathcal{B}\) を可算なブール代数とする．
(補題0) : \(\mathcal{B}\) は無限な反鎖を持たない．
(証明) : 無限な反鎖 \(A \subset \mathcal{B}\) が存在したとする．\(\mathcal{B}\) が完備ブール代数であるので，各 \(S \in \mathcal{P}(A)\) に対して \(\bigvee S \in \mathcal{B}\) が存在する．ここからは \(\forall S,S' \in \mathcal{P}(A) (S \neq S' \rightarrow \bigvee S \neq \bigvee S')\) を示す．これが示されれば \(|\mathcal{P}(A)| > \aleph_0\) によって，\(|\mathcal{B}| > \aleph_0\) となって矛盾してしまうため，無限な反鎖 \(A\) が存在し得ないことが示される．
\(S,S' \in \mathcal{P}(A)$を$S \neq S'\) なるものとする．\(x \in S\) かつ \(x \notin S'\) なる \($x \in \mathcal{B}\) が存在するとしても一般性は失われない．\(A\) の異なる元は互いに両立しないので，\(\bigvee S \wedge x = \bigvee_{a \in S} (a \wedge x) = x\) であり，\(\bigvee S' \wedge x = \bigvee_{a \in S'} (a \wedge x) = 0\) である．よって，\(\bigvee S \neq \bigvee S'\) である．
[F1]の結果により，\(\{ a_0 , a_1 , \ldots, a_{n-1} \}\) を極大かつ一番濃度が高い反鎖とする．このとき，明らかに \( a_0 , a_1 \ldots, a_{n-1} \) は全て [A1]の意味においてアトムである．
さらに補題を2つ示す．
(補題1) : \(x \in \mathcal{B}\) が，アトム \(a \in \mathcal{B}\) と両立するならば，\(a \leq x\) である．
(証明) : \(a \not\leq x\) であったとすると，\((a \wedge x') > 0\) である．\(a\) と \(x\) が両立するから，\((a \wedge x)>0\) である．\(0 < (a \wedge x) \leq a\) かつ \(0 < (a \wedge x') \leq a\) であり，これは \(a\) がアトムであることに反する．
(補題2) : \(a_0 \vee a_1 \vee \ldots \vee a_{n-1} = 1\)．
(証明) : [D1]の解答内で証明した補題 “predense な集合の上限は1 である．”と，極大反鎖がその意味でのpredenseであることにより明らかである．