\(M\)において議論する. \(|I|=\kappa\)とおく. \(\operatorname{Fn}(I, 2, \omega_1)\)と\(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, 2, \omega_1)\)は同型なので\(\mathbb{P} = \operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, 2, \omega_1)\)として, \(M[G]\)でCHが成り立つことを示せばよい. まず, \(\mathbb{P}\)は\(\omega_1\)-閉なので, \(({^\omega2})^M = ({^\omega2})^{M[G]}\)かつ\((\omega_1)^M = (\omega_1)^{M[G]}\)である. よって, ここから先で\({^\omega2}\), \(\omega_1\)が\(M\)におけるものか\(M[G]\)におけるものかは気にしないこととする.
ここで, \(f \in {^\omega2}\)に対して, \(D_f = \{ p \in \mathbb{P} : \exists \beta < \omega_1 \forall n \in \omega \bigl(p(\langle \beta,n \rangle) = f(n) \bigr) \}\)とおく.
(補題) : \(f \in {^\omega2}\)に対して, \(D_f\)は稠密集合である.
(証明) : \(p \in \mathbb{P}\)を任意にとる. \(|p|<\omega_1\)であり, \(\omega_1\)は正則なので, \(\operatorname{PRdom}(p) \cap \omega_1\)は\(\omega_1\)の中で有界である. ここで\(\operatorname{PRdom}(p)\)とは\(\{ \alpha < \kappa : \exists n \in \omega \bigl(\langle \alpha , n\rangle \in \operatorname{dom}(p)\bigr) \}\)のことである.
そこで, \(\beta \not\in \operatorname{PRdom}(p)\)なる\(\beta<\omega_1\)をとり, \(q = p \cup \{ \langle \langle \beta, n \rangle, f(n) \rangle : n \in \omega \}\)とおけば, \(q \leq p\)かつ\(q \in D_f\)である.
ここからは\(M[G]\)において議論する. ここで\(\bigcup G\)は\(\kappa \times \omega\)から\(2\)への関数である. 各\(\alpha < \omega_1\)に対して, \(F_\alpha \in {^\omega2}\)を各\(n \in \omega\)に対して\(F_\alpha(n) = (\bigcup G)(\langle \alpha, n \rangle)\)とすることで定める. \(\langle F_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle = {^\omega2}\)を示す.
\(f \in {^\omega2}\)を任意にとる. \(G \cap D_f \neq \emptyset\)なので\(p \in G\)と\(\beta < \omega_1\)を\(\forall n \in \omega \bigl(p(\langle \beta,n \rangle) = f(n) \bigr)\)なるようにとる. このとき, \(\forall n \in \omega \bigl((\bigcup G)(\langle \beta,n \rangle) = f(n) \bigr)\)であるので, \(F_\beta = f\)である.