第VII章 演習問題 [G5]

\(\theta\) から \(\lambda\) への上射は存在する。\(\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\lambda, 2, \lambda)\) とおき、\(f_G = \bigcup G\) とする。 \[ D_\alpha = \{p \in \mathbb{P} : \mathrm{type}\{\xi \in \mathrm{dom}(p) : p(\xi) = 1\} \ge \alpha\} \] が任意の \(\alpha < \lambda\) について \(\mathbb{P}\) で稠密であることから、\(\{\alpha < \lambda : f_G(\alpha) = 1\}\) は順序型 \(\lambda\) を持つ部分集合である。

\(\lambda\) より小さい正則基数を昇順に並べたものを \(\langle \lambda_\alpha : \alpha < \theta \rangle\) とし、\(g : \theta \to \lambda\) を \[ g(\alpha) = \text{「}\{\alpha < \lambda : f_G(\alpha) = 1\} \text{の } \lambda_\alpha \text{ 番目の順序数が } \lambda_\alpha \cdot \delta + \beta \text{ と表されるときの } \beta\text{」} \] と定義する。このとき各 \(\beta < \lambda\) で \[ E_\beta = \{p \in \mathbb{P} : \exists \alpha < \theta\, \exists \delta < \lambda_\alpha\, p(\lambda_\alpha \cdot \delta + \beta) = 1 \land \mathrm{type}\{\xi \in \lambda_\alpha \cdot \delta + \beta \cap \mathrm{dom}(p) : p(\xi) = 1\} = \lambda_\alpha\} \] が稠密である。これは \(\{\alpha + \beta : \alpha < \lambda\}\) の濃度が \(\lambda\) であることによる。従って \(g\) が上射であるとわかる。

一方、\(\theta\) から \(\lambda^+\) への上射は必ずしも存在するとは言えない。例えば \(2^{<\lambda} = \lambda\) のときは補題6.10より \(\mathbb{P}\) は \(\lambda^+\)-鎖条件を持つから、補題6.9 によって \(\lambda^+\) は \(M[G]\) においても基数であり、そのような上射は存在しえない。

逆に \(2^\mu > \lambda\) を満たすような基数 \(\mu < \lambda\) が存在するときはその限りでない。このために各 \(f \in 2^\mu \cap M\) に対して \[ D_f = \{p \in \mathbb{P} : \exists \alpha < \lambda\, \{(\alpha + \zeta, f(\zeta)) : \zeta < \mu\} \subseteq p\} \] が \(\mathbb{P}\) で稠密であることを示す。

\(p \in \mathbb{P}\) が \(\sup(\mathrm{dom}(p)) = \gamma < \lambda\) を満たす場合は明らかに \[ q = p \cup \{(\gamma + \zeta, f(\zeta)) : \zeta < \mu\} \] とすれば \(q \le p\) かつ \(q \in D_f\) である。

\(\sup(\mathrm{dom}(p)) = \lambda\) のときは、\(\{a_\xi : \xi < \alpha\}\) を \(\mathrm{dom}(p)\) の昇順な列挙とすれば \[ \lambda = \bigcup_{\xi < \alpha} \{\delta : a_\xi \le \delta < a_{\xi+1}\} \] だが、\(|\mathrm{dom}(p)| < \lambda\) より、いずれかの \(\xi < \alpha\) で \(\{\delta : a_\xi \le \delta < a_{\xi+1}\}\) の順序型は \(\mu\) より大きくなければならない。

そのような \(\xi\) を一つ取って、先ほどと同様に \[ q = p \cup \{(a_\xi + 1 + \zeta, f(\zeta)) : \zeta < \mu\} \] とすれば \(q \le p\) かつ \(q \in D_f\)。

\(h : \lambda \to 2^\mu\) を \[ h(\alpha) = \{(\zeta, f_G(\alpha + \zeta)) : \zeta < \mu\} \] とする。先ほどの議論から、任意の \(f \in 2^\mu \cap M\) はある \(\alpha < \lambda\) について \(h(\alpha) = f\) を満たすから、これは値域に \(2^\mu \cap M\) を含み、\(\lambda < 2^\mu\) だからこの \(h\) は \(\lambda\) から \((\lambda^+)^M\) への上射の存在を示す。

上で \(\theta\) から \(\lambda\) への上射の存在は示されているから、合成によって \(\theta\) から \((\lambda^+)^M\) への上射が \(M[G]\) 上で構成できる。